توپولوژی تصاعد حسابی (Arithmetic Progression Topologies)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توپولوژی تصاعد حسابی (Arithmetic Progression Topologies) :
این توپولوژی روی مجموعه اعداد طبیعی
\[ \mathbb{N} \](یا اعداد صحیح
\[ \mathbb{Z} \]) تعریف می شود و پایه آن شامل مجموعه های به شکل پیشروی های حسابی نامتناهی است. مثلا مجموعه همه اعدادی که به پیمانه
\[ a \]هم نهشت با
\[ b \]هستند. این توپولوژی ارتباط نزدیکی با نظریه اعداد دارد.
یک نمونه مشهور توپولوژی فوریه (Fürstenberg) است که برای اثبات نامتناهی بودن اعداد اول استفاده شد. در این توپولوژی، مجموعه اعداد اول بسته هستند و با استدلال توپولوژیک ثابت می شود که تعداد اعداد اول نامتناهی است.
پایه این توپولوژی شامل مجموعه های
\[ A_{a,b} = \{ a n + b \mid n \in \mathbb{Z} \} \]برای
\[ a>0 \]و
\[ b \]دلخواه است. این مجموعه ها هم باز و هم بسته هستند (clopen).
\[ A_{a,b} = \{ b + k a \mid k \in \mathbb{Z} \} \]فضای حاصل یک فضای هاسدورف، کاملا منظم و صفر-بعدی است. همچنین این فضا لیندلوف و پارافشرده نیست (در حالت کلی). این توپولوژی نمونه ای از توپولوژی خطی (linear topology) روی گروه آبلی
\[ \mathbb{Z} \]است.
