فضای آرنس-فورت (Arens–Fort Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای آرنس-فورت (Arens–Fort Space) :
فضای آرنس-فورت یک مثال کلاسیک از فضایی است که هاسدورف (T2) است ولی کاملا منظم (Tychonoff) نیست. این فضا روی مجموعه
\[ \mathbb{N} \times \mathbb{N} \](محصول دکارتی اعداد طبیعی) تعریف می شود، با یک نقطه اضافی
\[ (0,0) \](یا هر نقطه ای خارج از جدول). اما تعریف اصلی: مجموعه
\[ X = \mathbb{N} \cup \{\infty\} \](یا گاهی
\[ \mathbb{N} \times \mathbb{N} \cup \{\infty\} \]).
توپولوژی آرنس-فورت به این صورت است: همه نقاط
\[ \mathbb{N} \](یا نقاط شبکه) مجزا (گسسته) هستند. همسایگی نقطه ∞ شامل همه مجموعه هایی است که متمم آنها متناهی است و همچنین شامل تمام نقاط یک ستون یا سطر خاص (بسته به تعریف). نسخه رایج: روی
\[ \mathbb{N} \times \mathbb{N} \]، هر نقطه (به جز ∞) مجزا است. همسایگی ∞ مجموعه هایی هستند که شامل ∞ بوده و متمم آنها شمارا نباشد (یا شرط خاص دیگر).
این فضا یک فضای T2 است: نقاط متمایز را می توان با مجموعه های باز جدا کرد. اما یک تابع پیوسته حقیقی مقدار که ∞ را از یک نقطه دیگر جدا کند، وجود ندارد (بنابراین کاملا منظم نیست).
\[ \text{همسایگی ∞: } \{ U \subseteq X \mid \infty \in U,\; X\setminus U \text{ متناهی یا شامل نقاط یک خط خاص نباشد} \} \]فضای آرنس-فورت یک مثال نقض مهم در توپولوژی عمومی است و اغلب برای نشان دادن مرز بین اصول جداگانگی استفاده می شود.
