فضای سیرپینسکی (Sierpiński Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای سیرپینسکی (Sierpiński Space) :
فضای سیرپینسکی ساده ترین مثال از یک فضای توپولوژیک است که T0 است ولی T1 نیست. این فضا دو نقطه دارد:
\[ \{0,1\} \]با توپولوژی
\[ \{ \emptyset, \{1\}, \{0,1\} \} \]. یعنی نقطه ۱ تنها یک مجموعه باز غیربدیهی (غیر از کل فضا) دارد:
\[ \{1\} \]، ولی نقطه ۰ فقط در مجموعه کل فضا به عنوان همسایگی حضور دارد.
در این فضا نقطه ۱ بسته نیست (چون متمم آن
\[ \{0\} \]باز نیست) ولی نقطه ۰ بسته است (چون متمم آن
\[ \{1\} \]باز است). بنابراین اصل T1 برقرار نیست: نقاط بسته نیستند.
فضای سیرپینسکی نقش مهمی در نظریه رسته ها دارد: در رسته فضاهای توپولوژیک، این فضا یک اشیاء طبقه بندی کننده (classifier) برای زیرفضاهای باز است. یعنی زیرمجموعه های باز متناظر با توابع پیوسته به فضای سیرپینسکی هستند.
توپولوژی سیرپینسکی:
\[ \mathcal{T} = \{ \emptyset, \{1\}, \{0,1\} \} \]همچنین فضای سیرپینسکی یک فضای همبند است، اما همبند-راه نیست (چون مسیر پیوسته از ۰ به ۱ وجود ندارد). این فضا در توپولوژی جبری و نظریه حوزه (domain theory) نیز کاربرد دارد.
