فضای توپولوژیک متناهی (Finite Topological Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای توپولوژیک متناهی (Finite Topological Space) :
فضای توپولوژیک متناهی، فضایی است که مجموعه مبنا ( underlying set ) آن متناهی باشد. یعنی تعداد اعضای X متناهی است. با اینکه مجموعه نقاط متناهی است، اما می توان توپولوژی های مختلفی روی آن تعریف کرد (برخلاف تصور اولیه که فقط توپولوژی گسسته و ناگسسته ممکن است).
روی یک مجموعه n عضوی، تعداد توپولوژی های ممکن بسیار زیاد است (و تاکنون فرمول بسته ای برای آن پیدا نشده است). این فضاها در ترکیبیات و نظریه نظم (order theory) کاربرد دارند.
ویژگی جالب: هر فضای توپولوژیک متناهی، لزوما فشرده است (چون هر پوشش باز را می توان به زیرپوشش متناهی کاهش داد). همچنین هر فضای متناهی دارای پایه ای از مجموعه های باز است که با یک پیش نظم (preorder) متناظر است. در واقع یک تناظر یک به یک بین توپولوژی های متناهی و پیش نظم های روی مجموعه وجود دارد.
اگر
\[ X \]متناهی باشد، هر توپولوژی روی
\[ X \]با یک رابطه بازتابی و متعدی (preorder) قابل نمایش است:
\[ x \le y \iff x \in \overline{\{y\}} \]فضاهای متناهی می توانند رفتارهای غیرمنتظره داشته باشند. مثلا فضای سیرپینسکی (مورد ۱۳) یک فضای دوعضوی است که T0 است ولی T1 نیست.
در توپولوژی جبری و نظریه رسته ها، فضاهای متناهی مدل های ساده ای برای مطالعه مفاهیمی مانند هم ریختی و همبندی ارائه می دهند.
