فضای هم نهایت-متناهی دو-نقططه ای (Double-pointed Cofinite Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای هم نهایت-متناهی دو-نقططه ای (Double-pointed Cofinite Topology) :
این فضا روی مجموعه ای مانند
\[ X \times \{0,1\} \]تعریف می شود (دو کپی از نقاط) و توپولوژی به این صورت است: مجموعه
\[ U \]باز است اگر متمم آن متناهی باشد یا به بیان دقیق تر، یک نوع توپولوژی خارج قسمت از فضای هم نهایت-متناهی است که در آن دو نقطه «مشابه» به هم چسبانده نشده اند اما ساختار هم نهایت-متناهی را القا می کند.
معمولا آن را روی مجموعه
\[ X \]با یک نقطه اضافی (مثلا
\[ p \]) تعریف می کنند که متمم مجموعه های باز یا متناهی است یا شامل آن نقطه خاص است. اما تعریف دقیق تر: توپولوژی ای روی مجموعه
\[ Y = X \cup \{a,b\} \]که در آن
\[ a \]و
\[ b \]دو نقطه متمایز هستند و هر مجموعه باز یا شامل هر دو نقطه
\[ a \]و
\[ b \]است یا متممش متناهی. این فضا یک مثال از فضای
\[ T_0 \]است که
\[ T_1 \]نیست (چون نقاط
\[ a \]و
\[ b \]را نمی توان با مجموعه های باز جدا کرد).
\[ \text{مجموعه های باز: } \{U \subseteq Y \mid (a,b \in U) \;\text{یا}\; (Y\setminus U \text{ متناهی}) \} \cup \{\emptyset\} \]این فضا اغلب در بررسی اصول جداگانگی استفاده می شود: مثلا فضای Kolmogorov (
\[ T_0 \]) هست اما
\[ T_1 \]نیست. همچنین شبه-فشرده (pseudocompact) است ولی فشرده نیست.
نکته جالب: هر تابع پیوسته حقیقی مقدار روی این فضا ثابت است (چون فضا شبه-فشرده و کاملا منظم نیست).
