فضای هم نهایت-متناهی (Cofinite Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای هم نهایت-متناهی (Cofinite Topology) :
در این توپولوژی، مجموعه های باز مجموعه هایی هستند که متمم آنها متناهی است، به اضافه مجموعه تهی. یعنی مجموعه های بسته، مجموعه های متناهی و خود مجموعه
\[ X \]هستند. گاهی به آن توپولوژی متمم-متناهی هم می گویند.
این توپولوژی روی مجموعه های نامتناهی، یک فضای
\[ T_1 \]ایجاد می کند ولی هاسدورف نیست (چون هر دو مجموعه باز نامتناهی اشتراک نامتناهی دارند). روی مجموعه های متناهی، با توپولوژی گسسته یکسان است.
ویژگی مهم: هر دنباله در این فضا حداکثر یک نقطه حدی دارد. اما اگر دنباله شامل بی نهایت نقطه متمایز باشد، به هر نقطه از فضا همگرا است! (چون هر همسایگی یک نقطه، متمم متناهی دارد و دنباله نهایتا در آن می افتد.)
\[ \mathcal{T}_{\text{cof}} = \{ U \subseteq X \mid X\setminus U \text{ متناهی است} \} \cup \{ \emptyset \} \]مثال: روی
\[ \mathbb{N} \](اعداد طبیعی)، مجموعه اعداد زوج باز نیست چون متمم آن (اعداد فرد) متناهی نیست. ولی مجموعه همه اعداد به جز
\[ \{2,4,6\} \]باز است (متمم آن متناهی است).
فضای هم نهایت-متناهی روی یک مجموعه نامتناهی، فشرده است: هر پوشش باز، شامل یک مجموعه باز است که متمم متناهی دارد؛ با اضافه کردن متناهی مجموعه دیگر، کل فضا پوشش می یابد. این یک مثال غیرشهودی از فشردگی بدون هاسدورف بودن است.
