فضای شمارا-هم نهایت (Cocountable Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای شمارا-هم نهایت (Cocountable Topology) :
در این توپولوژی روی یک مجموعه
\[ X \](ترجیحا ناشمارا)، یک مجموعه باز است اگر متمم آن شمارا باشد، به اضافه مجموعه تهی. به بیان دیگر مجموعه های بسته دقیقا مجموعه های شمارا و خود
\[ X \]هستند.
این فضا یک مثال کلاسیک برای نشان دادن این است که فضاهای
\[ T_1 \]لزوما هاسدورف نیستند. در واقع فضای شمارا-هم نهایت روی یک مجموعه ناشمارا، یک فضای
\[ T_1 \]است ولی هاسدورف نیست (چون هر دو مجموعه باز ناشمارا اشتراک ناشمارا دارند).
همگرایی در این فضا جالب است: یک دنباله
\[ (x_n) \]به نقطه
\[ x \]همگرا است اگر و تنها اگر همه نقاط دنباله به جز شمارا متناهی با
\[ x \]برابر باشند. به عبارتی دنباله ای که مقادیرش مکررا تغییر کند، همگرا نیست.
\[ \mathcal{T} = \{ U \subseteq X \mid X\setminus U \text{ شمارا است} \} \cup \{ \emptyset \} \]مثال: روی مجموعه اعداد حقیقی
\[ \mathbb{R} \]، بازه
\[ (0,1) \]باز نیست چون متمم آن شامل
\[ (-\infty,0] \cup [1,\infty) \]ناشمارا است. ولی مجموعه اعداد گنگ (متمم اعداد گویا) باز است؟ خیر، چون متمم آن (اعداد گویا) شماراست، پس مجموعه اعداد گنگ در این توپولوژی باز است.
فضای شمارا-هم نهایت فشرده نیست (زیرا می توان پوششی از مجموعه های باز با متمم شمارا ساخت که زیرپوشش متناهی نداشته باشد). ولی لیندلوف (Lindelöf) است.
