فضای گسسته (Discrete Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای گسسته (Discrete Space) :
در یک فضای گسسته، همه زیرمجموعه های مجموعه مبنا، مجموعه های باز محسوب می شوند. یعنی توپولوژی شامل تمام زیرمجموعه ها است. این قوی ترین توپولوژی ممکن روی یک مجموعه است (بیشترین تعداد مجموعه های باز).
به زبان ساده: در این فضا هر نقطه به تنهایی یک مجموعه ی باز است، پس نقاط از هم جدا هستند. به همین دلیل به آن «گسسته» می گویند؛ چون هیچ دو نقطه ای به هم نمی چسبند. برای هر نقطه
\[ x \]، مجموعه
\[ \{x\} \]باز است. این شرط معادل این است که فضای مورد نظر یک فضای
\[ T_1 \]باشد، ولی در اینجا حتی قوی تر است.
ویژگی های اصلی:
هر تابعی از یک فضای گسسته به هر فضای توپولوژیک دیگر، پیوسته است.
تنها دنباله های همگرا در این فضا، دنباله هایی هستند که از یک نقطه ثابت می گذرند (در نهایت ثابت).
این فضا دارای پایه ای از مجموعه های تک عضوی است. برای مجموعه
\[ X \]، پایه برابر
\[ \big\{ \{x\} : x \in X \big\} \]می باشد.
هر فضای گسسته، هاسدورف (Hausdorff) و کاملا منظم و نرمال است.
مثال: مجموعه اعداد صحیح
\[ \mathbb{Z} \]با توپولوژی گسسته. هر عدد یک مجموعه باز است. در این صورت همسایگی هر عدد فقط خودش است.
توپولوژی گسسته:
\[ \mathcal{T} = \mathcal{P}(X) \quad (\text{مجموعه توانی}) \]در تحلیل ریاضی، فضای گسسته اغلب به عنوان مثال نقض به کار می رود (چون بسیار غنی از مجموعه های باز است). از دید شهودی، نقاط مانند تک تک دانه های شن از هم جدا هستند.
