فضای متریک در آمار (Statistical Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک در آمار (Statistical Metric Space) :
تعریف: در آمار، فضاهای متریک برای مقایسه توزیع های احتمال، اندازه گیری عدم قطعیت، و تحلیل داده ها استفاده می شوند. مهم ترین مثال ها: فضای توزیع های احتمال با متریک هایی مانند فاصله وازرشتاین (Wasserstein)، فاصله هِلینگر (Hellinger)، فاصله کل تغییرات (Total Variation)، و دیورژانس کولبک-لیبلر (Kullback-Leibler divergence) که یک متریک نیست اما یک معیار عدم شباهت است.
\[ d_{TV}(P, Q) = \sup_A |P(A) - Q(A)| \](فاصله کل تغییرات)
\[ d_H(P, Q) = \sqrt{\frac{1}{2} \int (\sqrt{p} - \sqrt{q})^2} \](فاصله هلینگر)
توضیح مفهونی: در آمار، اغلب نیاز به مقایسه دو توزیع احتمال داریم. متریک های مختلفی برای این منظور وجود دارد که هر کدام خواص متفاوتی دارند. برای مثال، فاصله وازرشتاین برای مقایسه توزیع های با پشتیبانی متفاوت مناسب است و در نظریه انتقال بهینه (optimal transport) ریشه دارد.
ویژگی های اصلی:
فاصله کل تغییرات (TV) یک متریک است و برابر با
\[ \frac{1}{2}\int |p-q| \]است.
فاصله هلینگر (Hellinger) نیز یک متریک است و با
\[ d_H(P,Q)^2 = 1 - \int \sqrt{pq} \].
دیورژانس کولبک-لیبلر (
\[ KL(P\|Q) \]) یک متریک نیست (چون متقارن نیست و نامساوی مثلث را ندارد).
فاصله وازرشتاین (Wasserstein) با متریک روی فضای پایه تعریف می شود و در یادگیری ماشین (GANها) کاربرد دارد.
فاصله فیشر (Fisher-Rao) یک متریک روی منیفلد توزیع ها است.
کاربردها: فضاهای متریک در آمار برای آزمون های نیکویی برازش (goodness-of-fit)، تخمین چگالی، خوشه بندی توزیع ها، و یادگیری ماشین آماری کاربرد دارند.
📌 مثال ساده:
\[ P = \operatorname{Bernoulli}(0.5) \]و
\[ Q = \operatorname{Bernoulli}(0.6) \].
\[ d_{TV}(P, Q) = \frac{1}{2}(|0.5-0.6| + |0.5-0.4|) = 0.1 \].
