فضای متریک القاشده از اتصال (Connection-Induced Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک القاشده از اتصال (Connection-Induced Metric Space) :
تعریف: یک اتصال (connection) روی یک دسته برداری یا یک خمینه می تواند یک متریک القا کند. برای مثال، روی یک دسته برداری با یک اتصال، می توان یک متریک روی فضای کل (total space) تعریف کرد (متریک Sasaki). همچنین در هندسه ریمانی، اتصال لوی-چیویتا از متریک ناشی می شود، اما گاهی متریک از روی اتصال (مثلا در فضاهای وایل) تعریف می شود.
متریک Sasaki روی
\[ TM \]:
\[ g^S(X, Y) = g(\pi_* X, \pi_* Y) + g(KX, KY) \]که
\[ K \]انحنای اتصال است.
توضیح مفهونی: در هندسه دیفرانسیل، گاهی اوقات یک اتصال داده می شود و ما می خواهیم از آن یک متریک بسازیم. این کار در مطالعه فضاهای فینسلر، هندسه اسپینور، و نظریه میدان های پیمانه ای رخ می دهد.
ویژگی های اصلی:
متریک Sasaki روی
\[ TM \](دسته مماس) از متریک پایه و اتصال لوی-چیویتا ساخته می شود.
در فضاهای وایل (Weyl spaces)، متریک و اتصال هر دو داده می شوند و با هم سازگارند.
این متریک ها معمولا روی فضاهای بزرگتر (مانند
\[ TM \]یا دسته های برداری) تعریف می شوند.
کاربردها: این مفهوم در هندسه ریمانی (متریک Sasaki)، فیزیک (نظریه میدان های پیمانه ای)، و هندسه فینسلر کاربرد دارد.
📌 مثال ساده:
\[ M = \mathbb{R}^n \]با متریک تخت و اتصال لوی-چیویتا، متریک Sasaki روی
\[ T\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^{2n} \]همان متریک اقلیدسی است.
