فضای متریک مجهز به متر Berwald (انگلیسی : Berwald Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک مجهز به متر Berwald (انگلیسی : Berwald Metric Space) :
تعریف: یک فضای بروالد (Berwald space) یک فضای فینسلر است که در آن اتصال خطی (اتصال بروالد) با اتصال لوی-چیویتا (Levi-Civita) یک فضای ریمانی (که به طور موضعی تعریف می شود) یکسان است. به عبارت دیگر، ضرایب اتصال (نمادهای کریستوفل) به جهت وابسته نیستند. این فضاها توسط لودویگ بروالد در سال ۱۹۴۷ معرفی شدند.
اتصال بروالد مستقل از جهت است:
\[ G^i_{jk}(x, y) = \Gamma^i_{jk}(x) \]توضیح مفهونی: فضاهای بروالد تعمیمی از فضاهای ریمانی هستند که در آنها ساختار متریک می تواند وابسته به جهت باشد، اما اتصال (که برای تعریف ژئودزیک ها استفاده می شود) همچنان خطی است. این فضاها از این نظر به ریمانی نزدیک ترند تا فضاهای فینسلر عمومی.
ویژگی های اصلی:
در فضاهای بروالد، ژئودزیک ها همانند فضاهای ریمانی رفتار می کنند (اما تابع فاصله متفاوت است).
هر فضای ریمانی یک فضای بروالد است (با
\[ F(x, y) = \sqrt{g_{ij}(x) y^i y^j} \]).
متریک Randers با شرط خاصی می تواند بروالد باشد.
فضاهای موضعا متقارن (locally symmetric) در کلاس بروالد اهمیت دارند.
کاربردها: فضاهای بروالد در هندسه فینسلر (به عنوان پلی بین ریمانی و فینسلر)، فیزیک نظری (در نظریه های گرانش تعمیم یافته)، و نظریه کنترل کاربرد دارند.
📌 مثال ساده:
فضای ریمانی
\[ \mathbb{R}^n \]با متر اقلیدسی یک فضای بروالد است. همچنین متریک Randers
\[ F(x, y) = \sqrt{g_{ij}(x) y^i y^j} + A_i(x) y^i \]اگر
\[ A_i \]ثابت باشد، بروالد است.
