فضای متریک در کیهان شناسی (Cosmological Metric Space) (مانند متر FRW)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک در کیهان شناسی (Cosmological Metric Space) (مانند متر FRW) :
تعریف: در کیهان شناسی، متریک استاندارد برای توصیف جهان در مقیاس بزرگ، متریک FLRW (فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر) است که بر اساس اصل کیهان شناسی (همگن و همسانگرد بودن جهان در مقیاس بزرگ) ساخته شده است. این متریک به صورت
\[ ds^2 = -dt^2 + a(t)^2 \left( \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 d\Omega^2 \right) \]نوشته می شود، که
\[ a(t) \]عامل مقیاس (scale factor) و
\[ k \]انحنای فضایی است.
\[ ds^2 = -dt^2 + a(t)^2 \left( \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 d\Omega^2 \right) \]توضیح مفهونی: متریک FLRW پایه کیهان شناسی مدرن است. عامل مقیاس
\[ a(t) \]نشان دهنده انبساط (یا انقباض) جهان است. پارامتر
\[ k \]می تواند
\[ 0 \](جهان تخت)،
\[ +1 \](جهان بسته)، یا
\[ -1 \](جهان باز) باشد. این متریک با معادلات فریدمان که از معادلات اینشتین ناشی می شوند، تکامل می یابد.
ویژگی های اصلی:
همگن و همسانگرد: در هر نقطه و در هر جهت، جهان یکسان به نظر می رسد.
\[ a(t) \]
تکامل جهان را توصیف می کند (قانون هابل:
\[ \dot{a}/a = H \]).
معادلات فریدمان:
\[ (\frac{\dot{a}}{a})^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho - \frac{k}{a^2} \].
انواع جهان: تخت (
\[ k=0 \])، بسته (
\[ k=+1 \])، باز (
\[ k=-1 \]).
مثال ها: جهان دوسیته (de Sitter) با
\[ k=0 \]و
\[ \rho = \text{ثابت} \].
کاربردها: این متریک در کیهان شناسی برای مدل سازی انبساط جهان، تابش زمینه کیهانی، و ساختار مقیاس بزرگ کاربرد دارد.
📌 مثال ساده:
جهان تخت (
\[ k=0 \]) با
\[ a(t) = (t/t_0)^{2/3} \](برای جهان تحت سلطه ماده).
