فضای متریک ایستا (Static Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک ایستا (Static Metric Space) :
تعریف: در نسبیت عام و هندسه لورنتسی، یک فضازمان (spacetime) ایستا (static) نامیده می شود اگر یک میدان برداری شبه زمانی (timelike) کیلینگ (Killing) داشته باشد که به طور فراموشی (hypersurface-orthogonal) باشد. این به معنای آن است که متریک می تواند به صورت
\[ ds^2 = -V^2 dt^2 + g_{ij} dx^i dx^j \]نوشته شود که
\[ g_{ij} \]و
\[ V \]به زمان وابسته نیستند. مهم ترین مثال، متریک شوارتزشیلد (Schwarzschild metric) است.
\[ ds^2 = -V^2(x) dt^2 + g_{ij}(x) dx^i dx^j \]توضیح مفهومی: فضاهای ایستا در نسبیت عام برای مدل سازی میدان های گرانشی پایا (مانند سیاهچاله های غیرچرخان) استفاده می شوند. آنها دارای تقارن زمانی هستند و بردار کیلینگ شبه زمانی، مفهوم "سکون" را تعریف می کند.
ویژگی های اصلی:
متریک ایستا به زمان
\[ t \]وابسته نیست.
بردار کیلینگ
\[ \partial_t \]شبه زمانی و فراموشی است.
خارج قسمت (quotient) فضازمان توسط خطوط جریان این بردار، یک خمینه ریمانی (فضای مکان) به دست می دهد.
مثال ها: متریک شوارتزشیلد (سیاهچاله غیرچرخان)، متریک خارج از یک جرم کروی.
کاربردها: فضاهای متریک ایستا در نسبیت عام (برای مطالعه سیاهچاله ها)، کیهان شناسی (مدل های جهان ایستا)، و هندسه دیفرانسیل کاربرد دارند.
📌 مثال ساده:
متریک شوارتزشیلد:
\[ ds^2 = -(1 - \frac{2GM}{r}) dt^2 + (1 - \frac{2GM}{r})^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2 \].
