فضای متریک کواترنیونی (Quaternionic Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک کواترنیونی (Quaternionic Metric Space) :
تعریف: یک فضای متریک کواترنیونی معمولا به یک فضای برداری روی اعداد کواترنیون
\[ \mathbb{H} \]همراه با یک متریک (ناشی از نرم) گفته می شود. مهم ترین مثال،
\[ \mathbb{H}^n \]با متر
\[ d(p,q)=\|p-q\| \]است که در آن
\[ \|p\| = \sqrt{\sum |p_i|^2} \]و
\[ |p_i| \]قدر مطلق کواترنیونی است. این فضاها در هندسه و فیزیک (برای توصیف اسپینورها) اهمیت دارند.
\[ \mathbb{H}^n = \{ (q_1, ..., q_n) : q_i \in \mathbb{H} \} \] \[ \|q\| = \sqrt{q \bar{q}} \]توضیح مفهونی: اعداد کواترنیون تعمیم اعداد مختلط هستند و در نمایش چرخش ها در فضای سه بعدی کاربرد دارند. فضاهای کواترنیونی در هندسه دیفرانسیل (مانند خمینه های کواترنیونی-کیلر) و فیزیک نظری (برای مدل سازی میدان های پیمانه ای) ظاهر می شوند.
ویژگی های اصلی:
\[ \mathbb{H}^n \]
با متر
\[ d(p,q)=\|p-q\| \]یک فضای هیلبرت روی
\[ \mathbb{H} \]است (اگر ضرب داخلی کواترنیونی تعریف شود).
این فضا با
\[ \mathbb{R}^{4n} \]یکریخت است، اما ساختار کواترنیونی اضافی دارد.
خمینه های کواترنیونی (مانند فضای تصویری کواترنیونی
\[ \mathbb{H}P^n \]) با متریک های خاص اهمیت دارند.
گروه هولونومی این فضاها می تواند
\[ Sp(n) \]باشد.
کاربردها: فضاهای کواترنیونی در هندسه دیفرانسیل (خمینه های کواترنیونی-کیلر)، فیزیک (نظریه میدان های پیمانه ای، نظریه ریسمان)، و رباتیک (برای نمایش چرخش ها) کاربرد دارند.
📌 مثال ساده:
\[ \mathbb{H} \](اعداد کواترنیون) با متر
\[ d(p,q)=|p-q| \]، که
\[ |p| = \sqrt{p\bar{p}} \].
