فضای متریک اسکالر (Scalar Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک اسکالر (Scalar Metric Space) :
تعریف: فضای متریک اسکالر معمولا به فضایی گفته می شود که در آن متریک با ضرب اسکالر سازگار است، یعنی
\[ d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda| d(x, y) \](همگنی). این خاصیت در فضاهای نرم دار (که متریک از نرم می آید) برقرار است. اما گاهی به فضاهای متریکی اشاره دارد که مقادیر متریک آنها اسکالر (عدد حقیقی) است، که البته در همه فضاهای متریک همین طور است.
\[ d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda| d(x, y) \](خاصیت همگنی)
توضیح مفهومی: این مفهوم تأکید دارد که متریک با ساختار ضرب اسکالر سازگار است. فضاهای نرم دار (و به طور خاص فضاهای باناخ) این خاصیت را دارند. در مقابل، متریک های پایای انتقالی که همگن نیستند (مانند
\[ d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|} \]) این خاصیت را ندارند.
ویژگی های اصلی:
همگنی به همراه پایایی انتقالی (
\[ d(x+z, y+z)=d(x,y) \]) معادل با این است که متریک از یک نرم می آید.
این فضاها زیرمجموعه ای از فضاهای برداری نرم دار هستند.
مثال ها:
\[ \mathbb{R}^n \]با متر اقلیدسی،
\[ l^p \]،
\[ L^p \].
کاربردها: این مفهوم در آنالیز تابعی (برای مطالعه فضاهای نرم دار) و هندسه کاربرد دارد.
📌 مثال ساده:
\[ X = \mathbb{R}^2 \]با متر
\[ d(x,y)=\|x-y\|_2 \]:
\[ d(2x,2y) = \|2x-2y\| = 2\|x-y\| = 2 d(x,y) \].
