فضای متریک نزدیکی (Proximity Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک نزدیکی (Proximity Space) :
تعریف: فضای نزدیکی (Proximity space) یک مفهوم در توپولوژی است که رابطه "نزدیک بودن" بین دو مجموعه را توصیف می کند. یک ساختار نزدیکی (proximity structure) روی یک مجموعه
\[ X \]یک رابطه
\[ \delta \]بین زیرمجموعه های
\[ X \]است با خواص خاص، که تعمیم رابطه
\[ \overline{A} \cap \overline{B} \neq \emptyset \]است. هر فضای متریک یک فضای نزدیکی است با تعریف
\[ A \delta B \]اگر
\[ d(A, B) = 0 \].
\[ A \delta B \]یعنی
\[ A \]به
\[ B \]نزدیک است.
توضیح مفهونی: فضاهای نزدیکی توسط اف. رایس (F. Riesz) و بعدها توسط افرایموویچ (Efremovič) و اسمیرنوف (Smirnov) توسعه یافتند. آنها ارتباط نزدیکی با فضاهای یکنواخت و فشرده سازی ها دارند.
ویژگی های اصلی:
هر فضای متریک یک فضای نزدیکی است با
\[ A \delta B \iff d(A, B) = 0 \].
فضاهای نزدیکی با فضاهای یکنواخت و فشرده سازی های هاسدورف مرتبط هستند.
قضیه اسمیرنوف: هر فضای نزدیکی را می توان در یک فضای فشرده به طور یکتا نشاند.
این فضاها در نظریه فشرده سازی و توپولوژی مجموعه نقطه ای کاربرد دارند.
کاربردها: فضاهای نزدیکی در توپولوژی (برای مطالعه فشرده سازی ها)، آنالیز، و نظریه پیوستگی کاربرد دارند.
📌 مثال ساده:
در
\[ \mathbb{R} \]، دو مجموعه
\[ (0,1) \]و
\[ (1,2) \]به هم نزدیک نیستند چون
\[ d((0,1),(1,2)) = 0 \]؟ در واقع
\[ d=0 \]؟ فاصله بین آنها ۰ است (چون ۱ نقطه حدی مشترک است). پس
\[ A \delta B \]برقرار است.
\[ (0,1) \]و
\[ (2,3) \]به هم نزدیک نیستند (
\[ d=1 \]).
