فضای متریک گراسمن (Grassmannian Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک گراسمن (Grassmannian Metric Space) :
تعریف: خمینه گراسمن (Grassmannian)
\[ \operatorname{Gr}(k, n) \](یا
\[ \operatorname{Gr}(k, \mathbb{R}^n) \]) مجموعه همه زیرفضاهای
\[ k \]-بعدی در
\[ \mathbb{R}^n \]است. این فضا یک خمینه فشرده از بعد
\[ k(n-k) \]است. یک متریک طبیعی روی آن از زوایای بین زیرفضاها (زوایای اصلی) ناشی می شود. برای مثال، فاصله بین دو زیرفضا می تواند به صورت
\[ d(V, W) = \sqrt{\sum \theta_i^2} \](جذر مجموع مربعات زوایای اصلی) تعریف شود.
\[ d(V, W) = \sqrt{\sum_{i=1}^k \theta_i^2} \]، که
\[ \theta_i \]زوایای اصلی بین
\[ V \]و
\[ W \]هستند.
توضیح مفهومی: خمینه گراسمن تعمیم فضای تصویری است (
\[ \operatorname{Gr}(1, n+1) = \mathbb{R}P^n \]). این فضا در هندسه دیفرانسیل، نظریه کنترل، و یادگیری ماشین (برای تحلیل زیرفضاها) اهمیت دارد. متریک روی آن معمولا با استفاده از زوایای اصلی (principal angles) تعریف می شود.
ویژگی های اصلی:
\[ \operatorname{Gr}(k, n) \]
یک خمینه فشرده و همگن است:
\[ \operatorname{Gr}(k, n) \cong O(n) / (O(k) \times O(n-k)) \].
متریک طبیعی روی آن از فرم کیلینگ (Killing form) روی
\[ O(n) \]ناشی می شود.
ژئودزیک ها در این فضا با چرخش های خطی مرتبط هستند.
زوایای اصلی بین دو زیرفضا، زوایایی هستند که توسط بردارهای پایه متعامد مناسب تعریف می شوند.
این فضا یک فضای متقارن (symmetric space) از نوع فشرده است.
کاربردها: خمینه گراسمن در نظریه کنترل (برای سیستم های خطی)، یادگیری ماشین (برای تحلیل زیرفضاها، خوشه بندی طیفی)، بینایی کامپیوتر (برای تطبیق زیرفضاها)، و فیزیک (در نظریه میدان های پیمانه ای) کاربرد دارد.
📌 مثال ساده:
\[ \operatorname{Gr}(1, 2) \]مجموعه خطوط در صفحه است که با
\[ \mathbb{R}P^1 \cong S^1 \]یکریخت است.
\[ \operatorname{Gr}(2, 4) \]مجموعه صفحات در
\[ \mathbb{R}^4 \]است که یک خمینه ۴-بعدی است.
