فضای متریک روی کره ها (Metric on Spheres)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک روی کره ها (Metric on Spheres) :
تعریف: کره
\[ S^n \]با متریک استاندارد (متریک کروی) که از فضای اقلیدسی
\[ \mathbb{R}^{n+1} \]القا می شود. این متریک به صورت
\[ ds^2 = d\theta_1^2 + \sin^2\theta_1 d\theta_2^2 + \cdots + \sin^2\theta_1 \cdots \sin^2\theta_{n-1} d\theta_n^2 \]در مختصات قطبی نوشته می شود. فاصله بین دو نقطه برابر
\[ \arccos(\langle x, y \rangle) \]است.
\[ d(x, y) = \arccos(\langle x, y \rangle) \]توضیح مفهونی: کره یکی از اساسی ترین فضاهای هندسی است. در توپولوژی، کره
\[ S^n \]یک خمینه فشرده و ساده همبند (برای
\[ n \geq 2 \]) است. در هندسه، کره با انحنای ثابت مثبت، مدل فضای بسته با انحنای مثبت است. کره در فیزیک (برای مدل سازی فضاهای کروی)، نجوم، و بسیاری از زمینه های دیگر ظاهر می شود.
ویژگی های اصلی:
فشردگی: کره
\[ S^n \]یک فضای متریک فشرده است.
همبندی ساده:
\[ S^n \]برای
\[ n \geq 2 \]ساده همبند است.
انحنای ثابت: انحنای مقطعی
\[ K = 1 \].
ژئودزیک ها: کمان های دایره های بزرگ.
قطر:
\[ \pi \].
گروه ایزومتری:
\[ O(n+1) \].
متریک وتری (Chordal metric):
\[ d(x, y) = \|x - y\| \]که فاصله اقلیدسی بین نقاط به عنوان نقاط در
\[ \mathbb{R}^{n+1} \]است. این متریک با متریک کروی معادل نیست (مثلا برای نقاط متقابل، فاصله کروی
\[ \pi \]است در حالی که فاصله وتری ۲ است).
کاربردها: کره در توپولوژی، هندسه دیفرانسیل، فیزیک (نسبیت عام، کیهان شناسی)، نجوم، و بینایی کامپیوتر کاربرد دارد.
📌 مثال ساده:
روی
\[ S^2 \]، فاصله بین قطب شمال
\[ (0,0,1) \]و نقطه
\[ (1,0,0) \]روی استوا:
\[ \arccos(0) = \pi/2 \].
