فضای متریک روی گروه های لی با متر راست-یکنواخت (Right-Invariant Metric on Lie Groups)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

فضای متریک روی گروه های لی با متر راست-یکنواخت (Right-Invariant Metric on Lie Groups) :

تعریف: مشابه متریک چپ-یکنواخت، یک متریک

\[ g \]

روی گروه لی

\[ G \]

راست-یکنواخت (right-invariant) است اگر برای هر

\[ h \in G \]

، انتقال راست

\[ R_h: G \to G \]

(با

\[ R_h(x) = xh \]

) یک ایزومتری باشد:

\[ (R_h)^* g = g \]

. چنین متریکی با یک ضرب داخلی روی جبر لی

\[ \mathfrak{g} \]

تعیین می شود، اما با استفاده از مشتق انتقال راست.

\[ g_h = (R_{h^{-1}})^* g_e \]

توضیح مفهونی: متریک های راست-یکنواخت مشابه متریک های چپ-یکنواخت هستند و با یک تبدیل ساده (معکوس کردن گروه) به یکدیگر تبدیل می شوند. اگر گروه لی فشرده باشد، می توان با میانگین گیری روی گروه، یک متریک دو-ناوردا از ترکیب متریک چپ و راست ساخت.

ویژگی های اصلی:

یک متریک راست-یکنواخت نیز با یک ضرب داخلی روی جبر لی تعیین می شود.

ژئودزیک ها در متریک راست-یکنواخت با یک پارامتر زیرگروه ها متفاوت هستند (به طور کلی).

اگر متریک دو-ناوردا باشد، چپ و راست هر دو یکسانند.

متریک های چپ و راست معمولا ایزومتریک نیستند مگر اینکه گروه لی یک گروه فشرده باشد و متریک دو-ناوردا باشد.

مثال ها: هر گروه لی با متریک ناشی از فرم کیلینگ (که دو-ناوردا است).

کاربردها: این فضاها در مطالعه سیستم های دینامیکی روی گروه های لی، فیزیک (برای مدل سازی چرخش)، و هندسه دیفرانسیل کاربرد دارند.

📌 مثال ساده:

\[ G = \mathbb{R}^n \]

با متریک اقلیدسی: این متریک هم چپ-یکنواخت و هم راست-یکنواخت است.

\[ G = SO(3) \]

با متریک ناشی از فرم کیلینگ دو-ناوردا است، بنابراین هم چپ و هم راست-یکنواخت است.