فضای متریک روی گروه های لی با متر چپ-یکنواخت (Left-Invariant Metric on Lie Groups)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

فضای متریک روی گروه های لی با متر چپ-یکنواخت (Left-Invariant Metric on Lie Groups) :

تعریف: یک متریک

\[ g \]

روی گروه لی

\[ G \]

چپ-یکنواخت (left-invariant) نامیده می شود اگر برای هر

\[ h \in G \]

، انتقال چپ

\[ L_h: G \to G \]

(که با

\[ L_h(x) = hx \]

تعریف می شود) یک ایزومتری باشد. یعنی

\[ (L_h)^* g = g \]

. چنین متریکی کاملا توسط مقدار آن در عضو خنثی

\[ e \]

تعیین می شود.

\[ g_h = (L_{h^{-1}})^* g_e \]

(به طور دقیق تر

\[ g_h(X, Y) = g_e((L_h^{-1})_* X, (L_h^{-1})_* Y) \]

)

توضیح مفهومی: متریک های چپ-یکنواخت طبیعی ترین متریک ها روی گروه های لی هستند. آنها گروه را به یک فضای همگن (homogeneous space) تبدیل می کنند. مطالعه این متریک ها به هندسه گروه های لی و نظریه انحنا مرتبط است.

ویژگی های اصلی:

یک متریک چپ-یکنواخت با انتخاب یک ضرب داخلی روی جبر لی

\[ \mathfrak{g} = T_eG \]

به دست می آید.

ژئودزیک ها از عضو خنثی، یک پارامتر زیرگروه ها هستند:

\[ \exp(tX) \]

.

انحنای مقطعی و ریچی با ساختار جبر لی و ضرب داخلی مرتبط هستند.

گروه لی با متریک چپ-یکنواخت یک فضای همگن (اما نه لزوما متقارن) است.

مثال ها: هر گروه لی فشرده با متریک ناشی از فرم کیلینگ (که دو-ناوردا است، بنابراین چپ-یکنواخت هم هست).

کاربردها: این فضاها در هندسه دیفرانسیل (برای مطالعه انحنای گروه های لی)، فیزیک (برای مدل سازی فضاهای فاز)، و نظریه کنترل روی گروه های لی کاربرد دارند.

📌 مثال ساده:

\[ G = \mathbb{R}^n \]

با متریک اقلیدسی چپ-یکنواخت است (چون

\[ \mathbb{R}^n \]

آبلی است).

\[ G = SU(2) \]

: هر ضرب داخلی روی

\[ \mathfrak{su}(2) \cong \mathbb{R}^3 \]

یک متریک چپ-یکنواخت تعریف می کند. اگر ضرب داخلی متقارن کروی باشد (متناسب با فرم کیلینگ)، متریک دو-ناوردا نیز هست.