فضای متریک القاشده از متر ریمان روی گروه های لی (Riemannian Metric on Lie Groups)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

فضای متریک القاشده از متر ریمان روی گروه های لی (Riemannian Metric on Lie Groups) :

تعریف: یک گروه لی (Lie group)

\[ G \]

یک گروه است که هم زمان یک خمینه هموار نیز می باشد، به طوری که عملیات گروه (ضرب و وارون) هموار هستند. یک متریک ریمانی روی

\[ G \]

می تواند به صورت ناوردای چپ (left-invariant)، ناوردای راست (right-invariant)، یا دو-ناوردا (bi-invariant) تعریف شود. یک متریک ناوردای چپ با انتقال چپ به فضای مماس در عضو خنثی (identity) منتقل می شود.

\[ g_e \]

یک ضرب داخلی روی

\[ \mathfrak{g} = T_eG \]

است. سپس

\[ g_h = (L_h)_* g_e \]

.

توضیح مفهومی: گروه های لی نقش اساسی در هندسه و فیزیک دارند. متریک های ناوردا روی گروه های لی به ما اجازه می دهند تا ساختارهای هندسی با تقارن بالا داشته باشیم. برای مثال، گروه

\[ SO(3) \]

با متریک ناوردای چپ (که از فرم کیلینگ (Killing form) ناشی می شود) یک گروه فشرده با انحنای مثبت است.

ویژگی های اصلی:

هر گروه لی یک متریک ناوردای چپ (و راست) دارد (با انتخاب یک ضرب داخلی روی جبر لی).

متریک دو-ناوردا (bi-invariant) وجود دارد اگر و فقط اگر گروه لی فشرده یا آبلی باشد (و یا از نوع نیم ساده فشرده).

ژئودزیک ها در گروه های لی با متریک ناوردای چپ، یک پارامتر زیرگروه ها (one-parameter subgroups) هستند.

انحنای گروه های لی با متریک ناوردا با ساختار جبر لی مرتبط است.

مثال ها:

\[ SO(n) \]

،

\[ SU(n) \]

،

\[ GL(n) \]

.

کاربردها: گروه های لی با متریک ریمانی در فیزیک (برای توصیف تقارن ها)، هندسه دیفرانسیل (به عنوان مثال های مهم فضاهای همگن)، و نظریه کنترل (روی گروه های لی) کاربرد دارند.

📌 مثال ساده:

\[ G = \mathbb{R}^n \]

با متریک اقلیدسی: این متریک هم ناوردای چپ و هم راست است. ژئودزیک ها خطوط راست هستند.

\[ G = SU(2) \]

با متریک ناشی از فرم کیلینگ: این گروه با

\[ S^3 \]

یکریخت است و متریک آن متریک کروی است.