فضای متریک بیضوی (Elliptic Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک بیضوی (Elliptic Metric Space) :
تعریف: فضای بیضوی (Elliptic space) معمولا به فضای تصویری حقیقی
\[ \mathbb{R}P^n \]با متریک القایی از کره (که در آن نقاط متقابل یکسان در نظر گرفته می شوند) اشاره دارد. این فضا یک خمینه فشرده با انحنای مثبت است (برای
\[ n \geq 2 \]). متریک روی
\[ \mathbb{R}P^n \]به صورت
\[ d([x], [y]) = \min(\arccos|\langle x, y \rangle|, \pi - \arccos|\langle x, y \rangle|) \]تعریف می شود.
\[ \mathbb{R}P^n = S^n / \{\pm 1\} \] \[ d([x], [y]) = \arccos |\langle x, y \rangle| \](در واقع مینیمم با
\[ \pi - \arccos \]).
توضیح مفهومی: هندسه بیضوی یکی از سه هندسه کلاسیک با انحنای ثابت است (در کنار هندسه اقلیدسی و هذلولوی). در این هندسه، خطوط موازی وجود ندارند (هر دو خط در یک نقطه برخورد می کنند) و مجموع زاویه های مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه است. این هندسه توسط ریمان مطالعه شد.
ویژگی های اصلی:
\[ \mathbb{R}P^n \]
یک خمینه فشرده از ابعاد
\[ n \]است.
برای
\[ n \geq 2 \]، گروه بنیادین
\[ \pi_1(\mathbb{R}P^n) = \mathbb{Z}_2 \]است.
متریک آن از کره
\[ S^n \]القا می شود و انحنای مقطعی آن مثبت (بین
\[ 1 \]و
\[ 4 \]) است.
ژئودزیک ها تصویر ژئودزیک های کره هستند و اگر طول کمتر از
\[ \pi \]داشته باشند، کوتاه ترین مسیر یکتا هستند.
قطر آن
\[ \pi/2 \]است.
مقایسه با کره: در کره، نقاط متقابل متفاوت هستند و فاصله بین آنها
\[ \pi \]است. در فضای بیضوی، این نقاط یکسان هستند و فاصله بین نقاط حداکثر
\[ \pi/2 \]است.
کاربردها: فضای بیضوی در هندسه (به عنوان یک هندسه غیراقلیدسی)، توپولوژی جبری (برای مطالعه گروه های کوهمولوژی)، فیزیک (در نظریه میدان ها)، و بینایی کامپیوتر (برای نمایش جهت ها) کاربرد دارد.
📌 مثال ساده:
\[ \mathbb{R}P^1 \]با
\[ S^1 \]یکریخت است.
\[ \mathbb{R}P^2 \]صفحه تصویری حقیقی است که یک خمینه فشرده غیرجهت پذیر است.
