فضای متریک وایل (Weyl Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک وایل (Weyl Metric Space) :
تعریف: هندسه وایل (Weyl geometry) یک تعمیم از هندسه ریمانی است که در آن علاوه بر متریک
\[ g \]، یک فرم ۱ (one-form) به نام پتانسیل وایل (Weyl potential)
\[ \phi \]نیز وجود دارد. در این هندسه، طول بردارها تحت انتقال موازی تغییر می کند (برخلاف هندسه ریمانی که طول ثابت می ماند). این ساختار توسط هرمان وایل در تلاش برای یکپارچه سازی گرانش و الکترومغناطیس معرفی شد.
اتصال وایل:
\[ \nabla_X g = \phi(X) g \]توضیح مفهومی: در هندسه وایل، یک اتصال (connection) داریم که با متریک سازگار است اما نه با شرط
\[ \nabla g = 0 \]، بلکه با شرط
\[ \nabla_X g = \phi(X) g \]. این به معنای آن است که طول بردارها تحت انتقال موازی تغییر می کند. این نظریه در فیزیک (برای نظریه های وحدت یافته) و هندسه دیفرانسیل اهمیت دارد.
ویژگی های اصلی:
در هندسه وایل، می توان مقیاس (scale) را تغییر داد:
\[ g \mapsto \lambda g \]،
\[ \phi \mapsto \phi - d\log \lambda \].
تانسور انحنای وایل (Weyl curvature tensor) تحت این تغییر مقیاس ناورداست.
اگر
\[ \phi \]بسته باشد (
\[ d\phi = 0 \])، هندسه وایل موضعا ریمانی است (چون می توان با یک تغییر مقیاس،
\[ \phi \]را صفر کرد).
این ساختار در نظریه ریسمان و گرانش کوانتومی ظاهر می شود.
کاربردها: هندسه وایل در فیزیک نظری (برای نظریه های وحدت یافته، گرانش کوانتومی)، هندسه دیفرانسیل (به عنوان تعمیم هندسه ریمانی)، و نسبیت عام (برای مدل سازی میدان های پیمانه ای) کاربرد دارد.
📌 مثال ساده:
\[ \mathbb{R}^n \]با متریک
\[ g_{ij} = e^{f} \delta_{ij} \]و
\[ \phi = df \]یک ساختار وایل می دهد. اتصال وایل با اتصال لوی-چیویتا متفاوت است.
