فضای متریک کوسیمپلکتیک (Cosymplectic Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

فضای متریک کوسیمپلکتیک (Cosymplectic Metric Space) :

تعریف: یک خمینه کوسیمپلکتیک (Cosymplectic manifold) یک خمینه ریمانی از بعد فرد

\[ (2n+1) \]

با یک ساختار تماسی (یا به طور دقیق تر، یک ساختار کوسیمپلکتیک) است که در آن هر دو فرم تماسی و فرم حجمی بسته هستند. این ساختار توسط بلر (Blair) و دیگران مطالعه شده است.

\[ (\phi, \xi, \eta, g) \]

با

\[ d\eta = 0 \]

و

\[ d\Phi = 0 \]

که

\[ \Phi \]

فرم بنیادی (fundamental form) است.

توضیح مفهومی: خمینه های کوسیمپلکتیک آنالوگ بعد فرد خمینه های کیلر با انحنای صفر (یعنی خمینه های کالابی-یائو) نیستند، بلکه بیشتر شبیه به خمینه های تماسی با ساختار اضافی هستند. آنها با خمینه های ساساکی و کنموتسو تفاوت دارند زیرا در اینجا

\[ d\eta = 0 \]

است.

ویژگی های اصلی:

در خمینه های کوسیمپلکتیک، میدان ریب

\[ \xi \]

یک میدان برداری کیلینگ (Killing) است.

این فضاها به طور موضعی با حاصلضرب یک خمینه کیلر و یک خط (یا

\[ S^1 \]

) یکریخت هستند.

مثال ها: حاصلضرب یک خمینه کیلر و یک دایره

\[ S^1 \]

با متریک ضربی.

انحنای مقطعی در جهت های شامل

\[ \xi \]

صفر است.

ارتباط با ساختارهای دیگر: خمینه های کوسیمپلکتیک یک کلاس میانی بین خمینه های ساساکی (با

\[ d\eta = \Phi \]

) و خمینه های کنموتسو (با

\[ d\eta = 0 \]

و

\[ d\Phi = 2\eta \wedge \Phi \]

) هستند.

کاربردها: این فضاها در هندسه دیفرانسیل (برای مطالعه ساختارهای تماسی و برگ وارگی ها) و فیزیک (در نظریه میدان ها) کاربرد دارند.

📌 مثال ساده:

\[ M = S^1 \times \mathbb{C}P^n \]

با متریک ضربی. این یک خمینه کوسیمپلکتیک است. میدان ریب در جهت

\[ S^1 \]

است.