فضای متریک پایای چرخشی (Rotation-Invariant Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک پایای چرخشی (Rotation-Invariant Metric Space) :
تعریف: یک متریک
\[ d \]روی
\[ \mathbb{R}^n \](یا یک فضای برداری با ساختار متعامد) پایای چرخشی (Rotation-invariant) نامیده می شود اگر برای هر چرخش
\[ R \in O(n) \]و هر
\[ x, y \in \mathbb{R}^n \]داشته باشیم:
\[ d(Rx, Ry) = d(x, y) \]توضیح مفهومی: پایایی چرخشی به این معناست که متریک با ساختار اقلیدسی فضا سازگار است و فاصله بین دو نقطه با چرخش کل فضا تغییر نمی کند. مهم ترین مثال، متر اقلیدسی است. اما مترهای دیگری مانند
\[ l^1 \](منهتن) پایای چرخشی نیستند (چرا که با چرخش ۴۵ درجه، شکل لوزی تغییر می کند).
ویژگی های اصلی:
متریک های پایای چرخشی روی
\[ \mathbb{R}^n \]، به طور کامل توسط یک تابع از نرم اقلیدسی تعیین می شوند:
\[ d(x, y) = f(\|x - y\|) \].
این تابع
\[ f \]باید شرایط یک متریک را داشته باشد (مثلا
\[ f(0)=0 \]،
\[ f \]صعودی و
\[ f(a+b) \leq f(a) + f(b) \]).
متر اقلیدسی (
\[ f(t)=t \]) و متر
\[ f(t) = \frac{t}{1+t} \]نمونه هایی از متریک های پایای چرخشی هستند.
این متریک ها در فیزیک (برای حفظ تقارن چرخشی) و هندسه اهمیت دارند.
مثال های مهم:
متر اقلیدسی:
\[ d(x, y) = \|x - y\| \].
متر
\[ d(x, y) = \frac{\|x-y\|}{1+\|x-y\|} \].
متر
\[ d(x, y) = \|x-y\|^\alpha \]برای
\[ 0 < \alpha \leq 1 \](این یک متریک است؟ برای
\[ \alpha < 1 \]، نامساوی مثلث به صورت
\[ d(x,z) \leq d(x,y)^\alpha + d(y,z)^\alpha \]برقرار است، پس یک b-متریک است تا متریک استاندارد).
قضیه: هر متریک پایای چرخشی و پایای انتقالی روی
\[ \mathbb{R}^n \]که با توپولوژی اقلیدسی سازگار باشد، به صورت
\[ d(x, y) = f(\|x - y\|) \]با
\[ f \]یک تابع صعودی و زیرافزای (subadditive) است.
کاربردها: این متریک ها در فیزیک (برای حفظ تقارن)، هندسه (برای مطالعه فضاهای با تقارن کروی)، و یادگیری ماشین (برای کرنل های پایای چرخشی) کاربرد دارند.
📌 مثال ساده:
\[ d(x, y) = \|x - y\| \]پایای چرخشی است.
\[ d(x, y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| \](متر منهتن) پایای چرخشی نیست، زیرا با چرخش ۴۵ درجه، فاصله تغییر می کند.
\[ d(x, y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2} \](اقلیدسی) پایای چرخشی است.
