فضای متریک پایای انتقالی (Translation-Invariant Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک پایای انتقالی (Translation-Invariant Metric Space) :
تعریف: یک متریک
\[ d \]روی یک فضای برداری
\[ X \](روی
\[ \mathbb{R} \]یا
\[ \mathbb{C} \]) پایای انتقالی (translation-invariant) نامیده می شود اگر برای هر
\[ x, y, z \in X \]داشته باشیم:
\[ d(x + z, y + z) = d(x, y) \]توضیح مفهومی: این خاصیت بیان می کند که متریک با ساختار خطی فضا سازگار است: فاصله بین دو نقطه با انتقال هر دو به یک میزان، تغییر نمی کند. مهم ترین مثال، متریک های ناشی از نرم هستند:
\[ d(x, y) = \|x - y\| \]. اما متریک های پایای انتقالی می توانند از نرم نیایند (مثلا
\[ d(x, y) = \frac{\|x-y\|}{1+\|x-y\|} \]).
ویژگی های اصلی:
هر متریک ناشی از نرم، پایای انتقالی و همگن (
\[ d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda| d(x, y) \]) است.
یک متریک پایای انتقالی لزوما همگن نیست (مثلا متریک
\[ d(x, y) = \frac{|x-y|}{1+|x-y|} \]روی
\[ \mathbb{R} \]).
اگر یک متریک پایای انتقالی و همگن باشد و گوی های واحد محدب باشند، آن گاه از یک نرم می آید.
در فضاهای برداری توپولوژیک، متریک های پایای انتقالی که با توپولوژی سازگارند، اهمیت دارند (مانند متریک فضاهای فرشه).
مثال های مهم:
همه فضاهای نرم دار با متریک
\[ d(x, y) = \|x - y\| \].
متریک
\[ d(x, y) = \frac{|x-y|}{1+|x-y|} \]روی
\[ \mathbb{R} \](پایای انتقالی است اما همگن نیست).
متریک های فضاهای فرشه:
\[ d(x, y) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1 + p_n(x-y)} \]که در آن
\[ p_n \]نیم نرم ها هستند.
قضیه: یک فضای برداری توپولوژیک متریک پذیر است اگر و فقط اگر توپولوژی آن توسط یک متریک پایای انتقالی قابل تعریف باشد (قضیه متریک پذیری فضاهای برداری توپولوژیک).
کاربردها: متریک های پایای انتقالی در آنالیز تابعی (برای مطالعه فضاهای فرشه و فضاهای برداری توپولوژیک)، نظریه عملگرها، و معادلات دیفرانسیل (برای فضاهای توابع) کاربرد دارند.
📌 مثال ساده:
\[ d(x, y) = |x - y| \]روی
\[ \mathbb{R} \]پایای انتقالی است:
\[ d(x+z, y+z) = |(x+z)-(y+z)| = |x-y| \].
\[ d(x, y) = |e^x - e^y| \]پایای انتقالی نیست، زیرا
\[ d(x+z, y+z) = |e^{x+z} - e^{y+z}| = e^z |e^x - e^y| \neq |e^x - e^y| \].
