فضای متریک القاشده از تابعک مینکوفسکی (Minkowski Functional Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک القاشده از تابعک مینکوفسکی (Minkowski Functional Metric Space) :
تعریف: تابعک مینکوفسکی (یا تابعک کالیبره) یک مفهوم در آنالیز تابعی است. برای یک مجموعه محدب، متقارن، و جاذب (absorbing)
\[ C \subset X \]در یک فضای برداری، تابعک مینکوفسکی به صورت
\[ p_C(x) = \inf\{ \lambda > 0 : x \in \lambda C \} \]تعریف می شود. این تابعک یک نیم نرم است و اگر
\[ C \]کراندار باشد، یک نرم است. متریک القایی از این نرم، فضای متریک مورد نظر است.
\[ p_C(x) = \inf\{ \lambda > 0 : x \in \lambda C \} \]سپس
\[ d(x, y) = p_C(x - y) \].
توضیح مفهومی: تابعک مینکوفسکی یک روش کلی برای ساخت نرم ها از مجموعه های محدب و متقارن است. برای مثال، اگر
\[ C \]گوی واحد یک نرم باشد، تابعک مینکوفسکی همان نرم را بازمی گرداند. این مفهوم در آنالیز تابعی برای مطالعه فضاهای موضعا محدب استفاده می شود.
ویژگی های اصلی:
\[ p_C \]
یک نیم نرم است:
\[ p_C(x) \geq 0 \]،
\[ p_C(\lambda x) = |\lambda| p_C(x) \]،
\[ p_C(x+y) \leq p_C(x) + p_C(y) \].
اگر
\[ C \]کراندار و جاذب باشد،
\[ p_C \]یک نرم است.
گوی واحد متناظر با این نرم،
\[ C \]است.
هر نرم را می توان به صورت تابعک مینکوفسکی گوی واحد آن نرم نمایش داد.
مثال های مهم:
نرم
\[ l^p \]از گوی واحد
\[ \{x : \|x\|_p \leq 1\} \]به دست می آید.
در فضاهای موضعا محدب، تابعک های مینکوفسکی خانواده ای از نیم نرم ها را تشکیل می دهند.
برای یک مخروط محدب، تابعک مینکوفسکی ممکن است فقط روی مخروط تعریف شود.
کاربردها: این مفهوم در آنالیز تابعی (برای تعریف فضاهای موضعا محدب)، بهینه سازی محدب (برای توابع کالیبره)، و نظریه تقریب (برای مجموعه های محدب) کاربرد دارد.
نکته: تابعک مینکوفسکی به افتخار هرمان مینکوفسکی، ریاضیدان آلمانی، نامگذاری شده است.
📌 مثال ساده:
\[ X = \mathbb{R}^2 \]،
\[ C = \{(x, y) : |x| + |y| \leq 1\} \](لوزی). تابعک مینکوفسکی
\[ p_C(x, y) = |x| + |y| \]است که همان نرم
\[ l^1 \]است.
\[ C = \{(x, y) : \max(|x|, |y|) \leq 1\} \](مربع).
\[ p_C(x, y) = \max(|x|, |y|) \](نرم
\[ l^\infty \]).
