فضای متریک با نرم l∞ (انگلیسی : l∞ Norm Metric Space) (متر چبیشف)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک با نرم l∞ (انگلیسی : l∞ Norm Metric Space) (متر چبیشف) :
تعریف: فضای
\[ l^\infty \](یا
\[ \mathbb{R}^n \]با نرم
\[ l^\infty \]) شامل دنباله های کراندار است. متر چبیشف (یا متر ماکزیمم) روی
\[ \mathbb{R}^n \]به صورت زیر تعریف می شود:
\[ d_\infty(x, y) = \|x - y\|_\infty = \max_{i=1,\dots,n} |x_i - y_i| \]برای
\[ l^\infty \]با بعد نامتناهی:
\[ d(x, y) = \sup_{i} |x_i - y_i| \]توضیح مفهومی: متر چبیشف به نام ریاضیدان روسی پافنوتی چبیشف نامگذاری شده است. در این متریک، فاصله بین دو نقطه برابر با بزرگترین اختلاف در هر یک از مؤلفه هاست. این متریک در نظریه تقریب (تقریب چبیشف) و آنالیز عددی اهمیت دارد.
ویژگی های اصلی:
گوی های واحد در این متریک به صورت مکعب های توپر (ابر مکعب) هستند.
این متریک با متر اقلیدسی هم توپولوژی است.
\[ l^\infty \]
یک فضای باناخ است اما جدایی پذیر نیست (برای بعد نامتناهی).
دوگان
\[ l^1 \]،
\[ l^\infty \]است، و دوگان
\[ l^\infty \]بسیار پیچیده تر است.
این متریک در تقریب چندجمله ای (مینیمکس) استفاده می شود.
مثال های مهم:
\[ \mathbb{R}^n \]
با متر چبیشف.
\[ l^\infty \]
فضای دنباله های کراندار.
\[ C([a,b]) \]
با نرم یکنواخت (که همان
\[ l^\infty \]روی فضای توابع است).
تقریب چبیشف: در نظریه تقریب، تقریب چبیشف (یا مینیمکس) به دنبال چندجمله ای ای می گردد که حداکثر خطا را مینیمم کند، یعنی در نرم
\[ l^\infty \]بهترین تقریب باشد.
کاربردها: متر چبیشف در آنالیز عددی (برای تحلیل خطا)، نظریه تقریب (تقریب چندجمله ای)، بهینه سازی (مسائل با قید ماکزیمم)، و یادگیری ماشین (برای معیارهای مبتنی بر ماکزیمم) کاربرد دارد.
📌 مثال ساده:
\[ x = (1,2) \]،
\[ y = (4,6) \].
\[ d_\infty(x, y) = \max(|1-4|, |2-6|) = \max(3, 4) = 4 \].
\[ x = (1,2,3) \]،
\[ y = (1,2,5) \]:
\[ d_\infty = \max(0,0,2) = 2 \].
