فضای متریک با نرم l2 (انگلیسی : l2 Norm Metric Space) (متر اقلیدسی)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک با نرم l2 (انگلیسی : l2 Norm Metric Space) (متر اقلیدسی) :
تعریف: فضای
\[ l^2 \](یا
\[ \mathbb{R}^n \]با نرم
\[ l^2 \]) شامل دنباله ها (یا بردارهایی) است که مجموع مربعات درایه های آنها متناهی است. متر اقلیدسی به صورت زیر تعریف می شود:
\[ d_2(x, y) = \|x - y\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^2} \]برای
\[ l^2 \]با بعد نامتناهی:
\[ d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^\infty |x_i - y_i|^2} \]توضیح مفهومی: متر اقلیدسی آشناترین و شهودی ترین متریک است. این متریک از قضیه فیثاغورس ناشی می شود و تنها متریکی است که از یک ضرب داخلی (نرم
\[ l^2 \]) می آید. فضای
\[ l^2 \](و
\[ \mathbb{R}^n \]) یک فضای هیلبرت است.
ویژگی های اصلی:
ضرب داخلی:
\[ \langle x, y \rangle = \sum x_i y_i \]که نرم
\[ l^2 \]را القا می کند.
قاعده متوازی الاضلاع:
\[ \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2) \].
نامساوی کوشی-شوارتز:
\[ |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\| \].
کامل بودن:
\[ \mathbb{R}^n \]کامل است،
\[ l^2 \]نیز کامل است (فضای هیلبرت).
جدایی پذیری:
\[ l^2 \]جدایی پذیر است.
مثال های مهم:
\[ \mathbb{R}^n \]
با متر اقلیدسی.
\[ l^2 \]
فضای دنباله های با مربع مجموع پذیر.
\[ L^2 \]
فضای توابع با مربع انتگرال پذیر.
قضایای مهم:
قضیه فیثاغورس: اگر
\[ x \perp y \]، آن گاه
\[ \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \].
قضیه برآمدگی متعامد: برای هر زیرفضای بسته، یک برآمدگی متعامد یکتا وجود دارد.
قضیه بازنمایی ریتس: هر تابعک خطی پیوسته به صورت ضرب داخلی با یک عضو نمایش داده می شود.
کاربردها: متر اقلیدسی در هندسه، فیزیک، مهندسی، و یادگیری ماشین (به عنوان معیار فاصله پیش فرض) کاربرد دارد. اساس هندسه تحلیلی و حسابان است.
📌 مثال ساده:
\[ x = (1,2) \]،
\[ y = (4,6) \].
\[ d_2(x, y) = \sqrt{(1-4)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \].
