فضای متریک با نرم l1 (انگلیسی : l1 Norm Metric Space) (متر منهتن)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک با نرم l1 (انگلیسی : l1 Norm Metric Space) (متر منهتن) :
تعریف: فضای
\[ l^1 \](یا
\[ \mathbb{R}^n \]با نرم
\[ l^1 \]) شامل دنباله ها (یا بردارهایی) است که مجموع قدر مطلق درایه های آنها متناهی است. متر منهتن (یا متریک تاکسی) روی
\[ \mathbb{R}^n \]به صورت زیر تعریف می شود:
\[ d_1(x, y) = \|x - y\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i| \]برای
\[ l^1 \]با بعد نامتناهی:
\[ d(x, y) = \sum_{i=1}^\infty |x_i - y_i| \]توضیح مفهومی: متر منهتن (یا متریک تاکسی) به این دلیل نامگذاری شده است که در یک شهر با خیابان های شبکه ای (مثل منهتن)، کوتاه ترین مسیر بین دو نقطه، مجموع طول های افقی و عمودی است. این متریک یک فضای باناخ (برای بعد نامتناهی) و یک فضای متریک کامل برای
\[ \mathbb{R}^n \]است.
ویژگی های اصلی:
گوی های واحد در این متریک به صورت متقاطع های چهاروجهی (یک لوزی) هستند.
این متریک با متر اقلیدسی هم توپولوژی است اما خواص هندسی متفاوتی دارد.
در
\[ l^1 \]، قاعده متوازی الاضلاع برقرار نیست (برخلاف
\[ l^2 \]).
\[ l^1 \]
یک فضای باناخ است اما انعکاسی نیست و دوگان آن
\[ l^\infty \]است.
این فضا خاصیت نقطه ثابت برای نگاشت های غیرانبساطی دارد؟
مثال های مهم:
\[ \mathbb{R}^n \]
با متر منهتن.
\[ l^1 \]
فضای دنباله های با مجموع قدر مطلق متناهی.
\[ L^1 \]
فضای توابع انتگرال پذیر.
کاربردها: متر منهتن در یادگیری ماشین (به عنوان تابع هزینه)، تحلیل داده ها (برای داده های پرت)، بینایی کامپیوتر (برای تطبیق الگو)، و بهینه سازی (مسائل با قید
\[ l^1 \]که باعث تنکی می شود) کاربرد دارد.
خاصیت تنکی (Sparsity): در مسائل بهینه سازی، نرم
\[ l^1 \]به عنوان تقریبی از نرم
\[ l^0 \](تعداد درایه های غیرصفر) استفاده می شود و جواب های تنک (sparse) تولید می کند. این در فشرده سازی سیگنال و یادگیری ماشین بسیار مهم است.
📌 مثال ساده:
\[ x = (1,2) \]،
\[ y = (4,6) \].
\[ d_1(x, y) = |1-4| + |2-6| = 3 + 4 = 7 \].
\[ d_2(x, y) = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \].
