فضای متریک با نرم L∞ (انگلیسی : L∞ Norm Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک با نرم L∞ (انگلیسی : L∞ Norm Metric Space) :
تعریف: فضای
\[ L^\infty(X, \mu) \]شامل توابع measurable است که به طور اساسی کراندار (essentially bounded) هستند:
\[ \|f\|_\infty = \operatorname{ess\,sup}_{x \in X} |f(x)| = \inf\{M \geq 0 : |f(x)| \leq M \text{ تقریبا همه جا}\} \]متریک:
\[ d_\infty(f, g) = \|f - g\|_\infty \]توضیح مفهومی:
\[ L^\infty \]فضای توابع کراندار (به طور اساسی) است. این فضا دوگان
\[ L^1 \]است (تحت شرایط مناسب)، اما خود دوگان ساده ای ندارد. برخلاف
\[ L^p \]برای
\[ p < \infty \]،
\[ L^\infty \]جدایی پذیر نیست مگر در موارد خاص (مثلا وقتی فضا گسسته باشد).
ویژگی های اصلی:
کامل بودن:
\[ L^\infty \]یک فضای باناخ است.
جدایی ناپذیری: معمولا جدایی پذیر نیست (مثلا
\[ L^\infty[0,1] \]جدایی پذیر نیست).
دوگان: دوگان
\[ L^\infty \]بسیار پیچیده است (فضای اندازه های با تغییرات کراندار؟ خیر، دوگان
\[ L^\infty \]فضای اندازه های با تغییرات کراندار و با خاصیت اضافی است).
جبر باناخ:
\[ L^\infty \]با ضرب نقطه ای یک جبر باناخ جابجایی است.
قضیه گلند-نایمارک:
\[ L^\infty \]با فضای
\[ C(K) \]برای یک
\[ K \]فوق استونی (hyperstonean) یکریخت است.
مثال های مهم:
\[ L^\infty[0,1] \]
: توابع اساسیا کراندار روی بازه واحد.
\[ l^\infty \]
: دنباله های کراندار.
تفاوت با
\[ L^p \]برای
\[ p < \infty \]: در
\[ L^\infty \]، همگرایی یکنواخت تقریبا همه جا معنی می دهد. این فضا در نظریه اندازه و آنالیز تابعی برای مطالعه فضاهای دوگان اهمیت دارد.
کاربردها:
\[ L^\infty \]در نظریه عملگرها (برای جبرهای فون نویمان)، معادلات دیفرانسیل (برای تخمین های
\[ L^\infty \])، و نظریه کنترل (برای توابع کراندار) کاربرد دارد.
📌 مثال ساده:
\[ f(x) = \sin x \]روی
\[ \mathbb{R} \]:
\[ \|f\|_\infty = 1 \].
\[ f_n(x) = x^n \]روی
\[ [0,1] \]:
\[ \|f_n\|_\infty = 1 \]برای هر
\[ n \]، اما
\[ f_n \]به تابع
\[ f(x)=0 \]برای
\[ x<1 \]و
\[ f(1)=1 \]همگرای نقطه ای است، اما در
\[ L^\infty \]همگرا نیست (چون
\[ \|f_n - f\|_\infty = 1 \]).
