فضای متریک کره ای (Spherical Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک کره ای (Spherical Metric Space) :
تعریف: فضای متریک کره ای معمولا به کره
\[ S^n \]با متریک القایی از فضای اقلیدسی
\[ \mathbb{R}^{n+1} \]یا متریک کروی استاندارد اشاره دارد. این متریک به صورت
\[ d(x, y) = \arccos(\langle x, y \rangle) \](فاصله زاویه ای) یا
\[ d(x, y) = \|x - y\| \](متریک وتری) تعریف می شود. این فضا یک خمینه ریمانی با انحنای مقطعی ثابت ۱ است.
متریک کروی:
\[ ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2 \](برای
\[ S^2 \])
فاصله:
\[ d(x, y) = \arccos(x \cdot y) \]توضیح مفهومی: کره یکی از اساسی ترین فضاهای هندسی است. در توپولوژی، کره
\[ S^n \]یک خمینه فشرده و ساده همبند (برای
\[ n \geq 2 \]) است. در هندسه، کره با انحنای ثابت مثبت، مدل فضای بسته با انحنای مثبت است. کره در فیزیک (برای مدل سازی فضاهای کروی)، نجوم، و بسیاری از زمینه های دیگر ظاهر می شود.
ویژگی های اصلی:
فشردگی: کره
\[ S^n \]یک فضای متریک فشرده است.
همبندی ساده:
\[ S^n \]برای
\[ n \geq 2 \]ساده همبند است (
\[ \pi_1(S^n) = 0 \]).
انحنای ثابت: انحنای مقطعی
\[ K = 1 \].
ژئودزیک ها: کمان های دایره های بزرگ (بزرگترین دایره های روی کره).
قطر:
\[ \pi \](حداکثر فاصله بین نقاط).
گروه ایزومتری:
\[ O(n+1) \]، گروه متعامد.
متریک وتری (Chordal metric):
\[ d(x, y) = \|x - y\| \]که فاصله اقلیدسی بین نقاط به عنوان نقاط در
\[ \mathbb{R}^{n+1} \]است. این متریک با متریک کروی معادل نیست (مثلا برای نقاط متقابل، فاصله کروی
\[ \pi \]است در حالی که فاصله وتری ۲ است).
کره در ابعاد بالاتر:
\[ S^n \]برای
\[ n=1 \]یک دایره است،
\[ n=2 \]کره معمولی،
\[ n=3 \]کره سه بعدی (که در توپولوژی اهمیت دارد).
کاربردها: کره در توپولوژی (برای تعریف گروه های هموتوپی)، هندسه دیفرانسیل، فیزیک (نسبیت عام، کیهان شناسی)، نجوم (برای مدل سازی آسمان)، و بینایی کامپیوتر (برای نمایش جهت ها) کاربرد دارد.
قضایای مهم: قضیه گاوس-بونه برای سطوح کروی:
\[ \int_{S^2} K dA = 4\pi \].
📌 مثال ساده:
روی
\[ S^2 \]، فاصله بین قطب شمال
\[ (0,0,1) \]و نقطه
\[ (1,0,0) \]روی استوا:
\[ \arccos(0) = \pi/2 \].
مثلث کروی با رئوس روی استوا و قطب شمال: زاویه ها بیشتر از ۹۰ درجه.
