فضای متریک لورنتسی (Lorentzian Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک لورنتسی (Lorentzian Metric Space) :
تعریف: یک خمینه لورنتسی (Lorentzian manifold) یک خمینه هموار
\[ M \]همراه با یک متریک لورنتسی
\[ g \]است که در هر نقطه یک فرم مربعی با سیگنچر
\[ (1, n-1) \](یک بعد زمان و
\[ n-1 \]بعد مکان) روی فضای مماس تعریف می کند. این ساختار پایه نظریه نسبیت عام اینشتین است. فاصله در این فضا به دلیل نامعین بودن متریک، تعریف متفاوتی دارد (فاصله شبه-ریمانی).
متریک لورنتسی:
\[ g \]با سیگنچر
\[ (1, n-1) \]برای یک خمینه لورنتسی، فاصله بین دو نقطه که با یک منحنی شبه زمانی (timelike) قابل اتصال هستند، طول منحنی است.
توضیح مفهومی: در نظریه نسبیت، فضا-زمان یک خمینه چهاربعدی لورنتسی است. متریک لورنتسی به بردارها اجازه می دهد طول مثبت (شبه زمانی)، صفر (نوری) یا منفی (شبه فضایی) داشته باشند. ساختار سببی (causal structure) این فضاها بسیار مهم است.
ویژگی های اصلی:
برخلاف متریک ریمانی، متریک لورنتسی معین مثبت نیست، بنابراین مفهوم فاصله متفاوت است.
ژئودزیک ها در این فضا مسیرهای ذرات آزاد در میدان گرانشی هستند.
ساختار سببی (مخروط های نوری) تعیین می کند که کدام نقاط می توانند با یکدیگر ارتباط سببی داشته باشند.
خمینه های لورنتسی می توانند تکینگی هایی مانند سیاهچاله ها داشته باشند.
قضیه تکینگی پنروز-هاوکینگ: تحت شرایط انرژی مناسب، فضا-زمان ناگزیر دارای تکینگی است.
مثال های مهم:
فضای مینکوفسکی
\[ \mathbb{R}^{1,3} \]: با متریک
\[ ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \]، پایه نسبیت خاص.
متریک شوارتزشیلد: مدل سیاهچاله کروی.
متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر (FLRW): مدل جهان در حال انبساط.
متریک کر: مدل سیاهچاله در حال چرخش.
ساختار سببی: یک بردار
\[ v \]شبه زمانی است اگر
\[ g(v, v) < 0 \]، نوری است اگر
\[ g(v, v) = 0 \]، و شبه فضایی است اگر
\[ g(v, v) > 0 \]. مخروط نوری در هر نقطه شامل همه بردارهای نوری و شبه زمانی است.
کاربردها: فضاهای لورنتسی در نسبیت عام (برای مدل سازی گرانش)، کیهان شناسی، نظریه میدان های کوانتومی در فضا-زمان خمیده، و هندسه دیفرانسیل کاربرد دارند.
ژئودزیک ها: ژئودزیک های شبه زمانی مسیر ذرات با جرم، ژئودزیک های نوری مسیر نور، و ژئودزیک های شبه فضایی (که کمتر فیزیکی هستند).
📌 مثال ساده:
فضای مینکوفسکی ۲بعدی:
\[ ds^2 = -dt^2 + dx^2 \]. فاصله بین دو نقطه
\[ (t_1, x_1) \]و
\[ (t_2, x_2) \]که با یک خط راست شبه زمانی قابل اتصالند برابر
\[ \sqrt{-(t_1-t_2)^2 + (x_1-x_2)^2} \]است (اگر عبارت زیر رادیکال منفی باشد، فاصله حقیقی نیست).
