فضای متریک وازرشتاین (Wasserstein Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک وازرشتاین (Wasserstein Metric Space) :
تعریف: متریک وازرشتاین (یا کانتورویچ-روبینشتاین) یک متریک روی فضای اندازه های احتمال است. برای
\[ p \geq 1 \]، فاصله وازرشتاین از مرتبه
\[ p \]بین دو اندازه احتمال
\[ \mu \]و
\[ \nu \]روی یک فضای متریک
\[ (X, d) \]به صورت زیر تعریف می شود:
\[ W_p(\mu, \nu) = \left( \inf_{\gamma \in \Gamma(\mu, \nu)} \int_{X \times X} d(x, y)^p \, d\gamma(x, y) \right)^{1/p} \]که
\[ \Gamma(\mu, \nu) \]مجموعه همه اندازه های روی
\[ X \times X \]با توزیع های حاشیه ای
\[ \mu \]و
\[ \nu \]است.
توضیح مفهومی: متریک وازرشتاین میزان کار لازم برای تبدیل یک توزیع به توزیع دیگر را با در نظر گرفتن هزینه انتقال (که برابر
\[ d(x, y)^p \]است) اندازه می گیرد. این متریک در نظریه حمل و نقل بهینه (Optimal Transport) ریشه دارد و توسط ریاضیدان روسی وازرشتاین (L. N. Vaserstein) معرفی شد.
ویژگی های اصلی:
\[ W_p \]
یک متریک روی فضای اندازه های احتمال با گشتاورهای
\[ p \]-ام متناهی است.
اگر
\[ X \]کامل و جدایی پذیر باشد، فضای اندازه ها با متر
\[ W_p \]نیز کامل و جدایی پذیر است.
\[ W_p \]
متریک همگرایی ضعیف را القا می کند:
\[ W_p(\mu_n, \mu) \to 0 \]اگر و فقط اگر
\[ \mu_n \]به طور ضعیف به
\[ \mu \]همگرا شود و گشتاورهای
\[ p \]-ام همگرا باشند.
برای
\[ p=1 \]،
\[ W_1 \]با متریک کانتورویچ-روبینشتاین برابر است.
ژئودزیک ها در این فضا با جابه جایی بهینه (optimal transport) مرتبط هستند.
مثال های مهم:
در
\[ \mathbb{R} \]با متر اقلیدسی،
\[ W_p(\mu, \nu) = \left( \int_0^1 |F_\mu^{-1}(t) - F_\nu^{-1}(t)|^p dt \right)^{1/p} \].
بین دو اندازه دیراک:
\[ W_p(\delta_x, \delta_y) = d(x, y) \].
بین دو توزیع نرمال روی
\[ \mathbb{R} \]:
\[ W_2(N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)) = \sqrt{(\mu_1 - \mu_2)^2 + (\sigma_1 - \sigma_2)^2} \]؟ در واقع
\[ W_2^2 = (\mu_1 - \mu_2)^2 + (\sigma_1 - \sigma_2)^2 \]؟ خیر، فرمول دقیق
\[ W_2^2 = (\mu_1 - \mu_2)^2 + (\sigma_1 - \sigma_2)^2 \]برای نرمال ها درست است.
نظریه حمل و نقل بهینه: مسئله اصلی این است: چگونه می توان یک توده از ماده را با کمترین هزینه از توزیع
\[ \mu \]به توزیع
\[ \nu \]منتقل کرد، وقتی هزینه انتقال از
\[ x \]به
\[ y \]برابر
\[ c(x, y) \]است. متر وازرشتاین ریشه در این مسئله دارد.
کاربردها: متریک وازرشتاین در یادگیری ماشین (برای تطبیق توزیع ها، GANها)، پردازش تصویر (برای مقایسه تصاویر)، اقتصاد (برای مسائل تخصیص بهینه)، و دینامیک سیالات (نظریه انتقال بهینه) کاربرد گسترده ای دارد.
📌 مثال ساده:
\[ \mu = \delta_0 \]،
\[ \nu = \delta_1 \]روی
\[ \mathbb{R} \].
\[ W_1(\mu, \nu) = 1 \]،
\[ W_2(\mu, \nu) = 1 \].
\[ \mu = \frac{1}{2}\delta_0 + \frac{1}{2}\delta_2 \]،
\[ \nu = \delta_1 \].
\[ W_1 \]چقدر است؟ انتقال: نیمی از جرم از ۰ به ۱ و نیمی از ۲ به ۱، هزینه
\[ 0.5 \times 1 + 0.5 \times 1 = 1 \].
