فضای متریک زیرمجموعه های فشرده (Space of Compact Subsets with Hausdorff Metric)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک زیرمجموعه های فشرده (Space of Compact Subsets with Hausdorff Metric) :
تعریف: فرض کنید
\[ (X, d) \]یک فضای متریک باشد. مجموعه همه زیرمجموعه های ناتهی و فشرده
\[ X \]را با
\[ \mathcal{K}(X) \]نشان می دهیم. متر هاسدورف
\[ d_H \]روی
\[ \mathcal{K}(X) \]تعریف می شود. این فضا یکی از مهم ترین فضاها در هندسه متریک و نظریه فرکتال ها است.
\[ \mathcal{K}(X) = \{K \subset X : K \text{ فشرده، ناتهی}\} \] \[ d_H(K_1, K_2) = \max\{\sup_{x \in K_1} d(x, K_2), \sup_{x \in K_2} d(x, K_1)\} \]توضیح مفهومی: برخلاف فضای زیرمجموعه های بسته، زیرمجموعه های فشرده همواره کراندار هستند، بنابراین متر هاسدورف همیشه متناهی است. این فضا خواص بسیار خوبی دارد: اگر
\[ X \]کامل باشد،
\[ \mathcal{K}(X) \]کامل است، و اگر
\[ X \]فشرده باشد،
\[ \mathcal{K}(X) \]فشرده است. این فضا در نظریه فرکتال ها برای مطالعه جاذب های دستگاه های تابع تکراری (IFS) استفاده می شود.
ویژگی های اصلی:
اگر
\[ (X, d) \]کامل باشد، آن گاه
\[ (\mathcal{K}(X), d_H) \]کامل است.
اگر
\[ (X, d) \]فشرده باشد، آن گاه
\[ (\mathcal{K}(X), d_H) \]فشرده است.
اگر
\[ X \]همبند باشد،
\[ \mathcal{K}(X) \]همبند مسیری است.
نگاشت
\[ x \mapsto \{x\} \]یک غوطه وری ایزومتریک از
\[ X \]به
\[ \mathcal{K}(X) \]است.
اجتماع و اشتراک توابع پیوسته از
\[ \mathcal{K}(X) \times \mathcal{K}(X) \]به
\[ \mathcal{K}(X) \]نیستند (اما تحت شرایطی پیوسته اند).
دستگاه های تابع تکراری (IFS): در نظریه فرکتال ها، یک IFS مجموعه ای از نگاشت های انقباضی
\[ \{f_1, ..., f_n\} \]روی
\[ X \]است. نگاشت
\[ F: \mathcal{K}(X) \to \mathcal{K}(X) \]با
\[ F(K) = \bigcup_{i=1}^n f_i(K) \]یک انقباض در متر هاسدورف است و نقطه ثابت آن یک فرکتال (جاذب IFS) است.
قضیه: اگر
\[ f_i: X \to X \]انقباض با ضرایب
\[ c_i \]باشند، آن گاه
\[ F: \mathcal{K}(X) \to \mathcal{K}(X) \]با
\[ F(K) = \bigcup f_i(K) \]یک انقباض با ضریب
\[ \max c_i \]در متر هاسدورف است.
کاربردها: این فضا در نظریه فرکتال ها (برای ساخت مجموعه های خودمتشابه مانند مجموعه کانتور، برف دانه کخ)، گرافیک کامپیوتری (برای تولید اشکال فرکتالی)، آنالیز هندسی، و نظریه تقریب کاربرد دارد.
مثال های مهم:
مجموعه کانتور
\[ C \]:
\[ C = F(C) \]که
\[ F(K) = \frac{1}{3}K \cup (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}K) \].
برف دانه کخ: جاذب یک IFS با چهار انقباض.
مثلث سیرپینسکی: جاذب یک IFS با سه انقباض.
📌 مثال ساده:
\[ X = [0, 1] \]،
\[ K_1 = \{0, 1\} \]،
\[ K_2 = [0, 1] \].
\[ d_H(K_1, K_2) = \sup_{x \in [0,1]} d(x, K_1) = 1/2 \](نقطه
\[ x = 1/2 \]).
دنباله
\[ K_n = \{0, 1/n, 2/n, ..., 1\} \]در
\[ \mathcal{K}([0,1]) \]به
\[ [0,1] \]همگراست.
