فضای متریک مجهز به متر هاسدورف (Hausdorff Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک مجهز به متر هاسدورف (Hausdorff Metric Space) :
تعریف: فرض کنید
\[ (X, d) \]یک فضای متریک باشد. مجموعه همه زیرمجموعه های ناتهی، بسته و کراندار
\[ X \]را با
\[ \mathcal{H}(X) \]نشان می دهیم. متر هاسدورف (Hausdorff Metric) روی
\[ \mathcal{H}(X) \]به صورت زیر تعریف می شود:
\[ d_H(A, B) = \max \left\{ \sup_{a \in A} d(a, B), \sup_{b \in B} d(b, A) \right\} \]که در آن
\[ d(x, C) = \inf_{c \in C} d(x, c) \].
توضیح مفهومی: متر هاسدورف فاصله بین دو مجموعه را اندازه می گیرد. این متریک در هندسه، آنالیز، و نظریه فرکتال ها بسیار مهم است. اگر
\[ X \]کامل باشد،
\[ (\mathcal{H}(X), d_H) \]نیز کامل است. اگر
\[ X \]فشرده باشد،
\[ \mathcal{H}(X) \]نیز فشرده است.
ویژگی های اصلی:
\[ d_H(A, B) = 0 \]
اگر و فقط اگر
\[ \overline{A} = \overline{B} \].
اگر
\[ (X, d) \]کامل باشد، آن گاه
\[ (\mathcal{H}(X), d_H) \]کامل است.
اگر
\[ (X, d) \]فشرده باشد، آن گاه
\[ (\mathcal{H}(X), d_H) \]فشرده است.
اگر
\[ X \]همبند باشد،
\[ \mathcal{H}(X) \]لزوما همبند نیست.
نگاشت
\[ x \mapsto \{x\} \]یک غوطه وری ایزومتریک از
\[ X \]به
\[ \mathcal{H}(X) \]است.
مثال های مهم:
در
\[ \mathbb{R}^2 \]، فاصله هاسدورف بین دو دیسک به شعاع های مختلف برابر اختلاف شعاع ها به اضافه فاصله مراکز است.
فاصله بین دو نقطه
\[ \{x\} \]و
\[ \{y\} \]برابر
\[ d(x, y) \]است.
فاصله بین یک نقطه و یک مجموعه برابر فاصله نقطه تا آن مجموعه است.
همگرایی هاسدورف: همگرایی در متر هاسدورف معادل با همگرایی مجموعه ها از نظر "نزدیکی" است. این مفهوم در مطالعه حدود فرکتال ها و مجموعه های فشرده کاربرد دارد.
قضیه انتخاب بلومنتال: در یک فضای متریک فشرده، خانواده زیرمجموعه های بسته با متر هاسدورف یک فضای فشرده است.
کاربردها: متر هاسدورف در نظریه فرکتال ها (برای مطالعه مجموعه های خودمتشابه)، هندسه دیفرانسیل (برای مطالعه حدود خمینه ها)، نظریه تقریب (برای تقریب مجموعه ها)، و بینایی کامپیوتر (برای تطبیق اشکال) کاربرد دارد.
تعمیم ها: متر هاسدورف را می توان به زیرمجموعه های ناتهی و بسته (بدون شرط کرانداری) تعمیم داد، اما در این صورت ممکن است مقدار فاصله نامتناهی شود.
📌 مثال ساده:
\[ X = \mathbb{R} \]،
\[ A = [0, 1] \]،
\[ B = [2, 3] \].
\[ d_H(A, B) = \max\{d(0, B), d(3, A)\} = \max\{2, 2\} = 2 \].
\[ A = [0, 1] \]،
\[ B = [0.5, 1.5] \].
\[ d_H(A, B) = \max\{d(0, B), d(1.5, A)\} = \max\{0.5, 0.5\} = 0.5 \].
