فضای متریک به طور ضعیف فشرده (Weakly Compact Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک به طور ضعیف فشرده (Weakly Compact Metric Space) :
تعریف: در آنالیز تابعی، یک مجموعه
\[ K \]در یک فضای باناخ
\[ X \]به طور ضعیف فشرده (Weakly Compact) نامیده می شود اگر در توپولوژی ضعیف (که توسط دوگان
\[ X^* \]ایجاد می شود) فشرده باشد. یک فضای متریک را به طور ضعیف فشرده می نامیم اگر بتوان آن را با یک متریک مناسب (که با توپولوژی ضعیف سازگار است) مجهز کرد و در آن توپولوژی فشرده باشد. مهم ترین مثال: قضیه باناخ-آلااوغلو می گوید که گوی واحد بسته در دوگان یک فضای باناخ، در توپولوژی ضعیف* فشرده است.
\[ X^* \text{ با توپولوژی ضعیف*} \quad \overline{B}_{X^*} \text{ فشرده است} \]توضیح مفهومی: فشردگی ضعیف مفهومی ضعیف تر از فشردگی معمولی (قوی) است. در فضاهای باناخ با بعد نامتناهی، گوی واحد بسته هرگز در توپولوژی قوی فشرده نیست، اما در توپولوژی ضعیف (یا ضعیف*) ممکن است فشرده باشد. این خاصیت در اثبات وجود جواب برای مسائل وردشی و بهینه سازی اساسی است.
ویژگی های اصلی:
قضیه باناخ-آلااوغلو: گوی واحد بسته در فضای دوگان
\[ X^* \]در توپولوژی ضعیف* فشرده است.
قضیه جیمز: یک فضای باناخ انعکاسی است اگر و فقط اگر گوی واحد بسته آن در توپولوژی ضعیف فشرده باشد.
قضیه ابرلین-اشمولیان: در فضاهای باناخ، فشردگی ضعیف دنباله ای با فشردگی ضعیف (برای مجموعه های کراندار) معادل است.
خاصیت کرین-میلمن: در فضاهای ضعیف فشرده، نقاط اکسترمال نقش مهمی دارند.
مثال های مهم:
گوی واحد در
\[ l^p \]برای
\[ 1 < p < \infty \]در توپولوژی ضعیف فشرده است (چون این فضاها انعکاسی هستند).
گوی واحد در
\[ l^1 \]در توپولوژی ضعیف فشرده نیست (چون
\[ l^1 \]انعکاسی نیست).
گوی واحد در
\[ l^\infty \]در توپولوژی ضعیف* (به عنوان دوگان
\[ l^1 \]) فشرده است.
در فضاهای هیلبرت، گوی واحد بسته در توپولوژی ضعیف فشرده است.
توپولوژی ضعیف: در یک فضای باناخ
\[ X \]، توپولوژی ضعیف کوچکترین توپولوژی ای است که همه تابعک های خطی پیوسته
\[ f \in X^* \]روی آن پیوسته هستند. این توپولوژی معمولا متریک پذیر نیست (مگر در موارد خاص)، اما زیرمجموعه های کراندار آن ممکن است خواص فشردگی خوبی داشته باشند.
قضیه ابرلین-اشمولیان: این قضیه بیان می کند که در یک فضای باناخ، یک مجموعه
\[ K \]در توپولوژی ضعیف فشرده است اگر و فقط اگر به طور ضعیف دنباله ای فشرده باشد (یعنی هر دنباله در
\[ K \]دارای زیردنباله ای است که در توپولوژی ضعیف همگراست).
کاربردها: فشردگی ضعیف در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (برای اثبات وجود جواب با روش های وردشی)، بهینه سازی محدب، نظریه کنترل بهینه، و آنالیز تابعی کاربرد دارد.
متریک پذیری: اگرچه توپولوژی ضعیف روی فضاهای با بعد نامتناهی معمولا متریک پذیر نیست، اما روی زیرمجموعه های کراندار خاصی ممکن است متریک پذیر باشد. برای مثال، در فضاهای هیلبرت جداپذیر، گوی واحد در توپولوژی ضعیف متریک پذیر است.
📌 مثال ساده:
\[ H = l^2 \]را در نظر بگیرید. دنباله
\[ e_n \](بردارهای پایه) در توپولوژی ضعیف به ۰ همگراست (زیرا
\[ \langle e_n, x \rangle = x_n \to 0 \])، اما در توپولوژی قوی همگرا نیست (چون
\[ \|e_n\| = 1 \]). گوی واحد در
\[ l^2 \]در توپولوژی ضعیف فشرده است اما در توپولوژی قوی فشرده نیست.
\[ l^1 \]: دنباله
\[ e_n \]در
\[ l^1 \]به ۰ همگرای ضعیف نیست (زیرا تابعک
\[ f(x) = \sum x_n \]روی
\[ l^\infty \](که دوگان
\[ l^1 \]است) تعریف می شود و
\[ f(e_n) = 1 \]).
