فضای متریک مجزا (Disjoint Union of Metric Spaces)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک مجزا (Disjoint Union of Metric Spaces) :
تعریف: فرض کنید
\[ \{(X_i, d_i)\}_{i \in I} \]یک خانواده از فضاهای متریک باشد. اجتماع مجزای (disjoint union) آنها، که با
\[ \bigsqcup_{i \in I} X_i \]نشان داده می شود، مجموعه ای است که اعضای آن زوج های
\[ (i, x) \]با
\[ x \in X_i \]هستند. روی این مجموعه می توان یک متریک به صورت زیر تعریف کرد:
\[ d((i, x), (j, y)) = \begin{cases} d_i(x, y) & \text{if } i = j \\ M & \text{if } i \neq j \end{cases} \]که در آن
\[ M \]یک عدد ثابت بزرگتر از همه فواصل درون هر فضا است (معمولا
\[ M = 1 \]انتخاب می شود).
توضیح مفهومی: اجتماع مجزا راهی برای ترکیب چند فضای متریک در یک فضای جدید است، به طوری که فاصله بین نقاط درون یک فضا به همان صورت باقی بماند و فاصله بین نقاط فضاهای مختلف یک مقدار ثابت (معمولا ۱) باشد. این فضاها در توپولوژی و هندسه برای ساخت مثال های مختلف استفاده می شوند.
ویژگی های اصلی:
اگر هر
\[ X_i \]کامل باشد، اجتماع مجزا با این متریک نیز کامل است.
اگر هر
\[ X_i \]فشرده باشد، اجتماع مجزا فشرده نیست مگر اینکه
\[ I \]متناهی باشد (زیرا می توان پوشش باز از تک نقاط انتخاب کرد).
هر
\[ X_i \]به عنوان یک زیرفضای باز و بسته در اجتماع مجزا نشانده می شود.
توپولوژی حاصل، توپولوژی حاصلضرب نیست، بلکه توپولوژی اجتماع مجزاست.
متریک های دیگر: می توان متریک های دیگری نیز تعریف کرد، مثلا
\[ d((i, x), (j, y)) = d_i(x, y) \]اگر
\[ i=j \]و
\[ d((i, x), (j, y)) = d_i(x, a_i) + 1 + d_j(a_j, y) \]برای نقاط مرجع
\[ a_i \]و
\[ a_j \]. این متریک فضاها را با یک پل به هم وصل می کند.
کاربردها: اجتماع مجزا در توپولوژی (برای ساخت فضاهای مثال نقض)، در نظریه گراف (برای اجتماع گراف ها)، و در هندسه (برای ترکیب فضاهای مختلف) کاربرد دارد.
مثال های مهم:
اجتماع مجزای دو دایره: دو دایره جدا از هم که فاصله هر نقطه از دایره اول تا هر نقطه از دایره دوم برابر ۱ است.
اجتماع مجزای یک نقطه و یک دایره: یک نقطه منفرد و یک دایره با فاصله ۱.
اجتماع مجزای شمارا از بازه ها:
\[ \bigsqcup_{n=1}^\infty (0, 1) \].
ارتباط با جمع مستقیم: در جبر، جمع مستقیم فضاهای برداری مفهوم متفاوتی است. در اینجا ما فقط مجموعه ها را بدون ساختار خطی کنار هم می گذاریم.
📌 مثال ساده:
\[ X = \{a\} \]،
\[ Y = \{b, c\} \]با متر گسسته. اجتماع مجزا: نقاط
\[ (1, a) \]،
\[ (2, b) \]،
\[ (2, c) \]. فاصله
\[ (1, a) \]تا
\[ (2, b) = 1 \]، فاصله
\[ (2, b) \]تا
\[ (2, c) = 1 \].
اگر
\[ X \]یک دایره به محیط ۱ و
\[ Y \]یک دایره به محیط ۲ باشد، با متر ۱ بین دو دایره، یک فضای ناهمبند داریم.
