فضای سوبولف (Sobolev Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای سوبولف (Sobolev Space) :
تعریف: فرض کنید
\[ \Omega \subset \mathbb{R}^n \]یک مجموعه باز،
\[ k \in \mathbb{N} \]، و
\[ 1 \leq p \leq \infty \]. فضای سوبولف
\[ W^{k,p}(\Omega) \]مجموعه همه توابع
\[ f \in L^p(\Omega) \]است که مشتقات توزیعی (weak derivatives) از همه مرتبه های
\[ |\alpha| \leq k \]در
\[ L^p(\Omega) \]وجود داشته باشند. نرم سوبولف به صورت زیر تعریف می شود:
\[ \|f\|_{W^{k,p}} = \left( \sum_{|\alpha| \leq k} \|D^\alpha f\|_p^p \right)^{1/p} \quad (p < \infty) \] \[ \|f\|_{W^{k,\infty}} = \max_{|\alpha| \leq k} \|D^\alpha f\|_\infty \]توضیح مفهومی: فضاهای سوبولف به نام ریاضیدان روسی سرگئی سوبولف نامگذاری شده اند. این فضاها نقش اساسی در نظریه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی دارند. آنها فضاهایی از توابع هستند که به اندازه کافی "نرم" هستند تا مشتقات شان (به معنای ضعیف) در
\[ L^p \]باشد. برای
\[ p=2 \]، این فضاها هیلبرت هستند و با
\[ H^k \]نشان داده می شوند.
ویژگی های اصلی:
کامل بودن:
\[ W^{k,p}(\Omega) \]یک فضای باناخ است (برای
\[ p=2 \]، هیلبرت).
جدایی پذیری: برای
\[ 1 \leq p < \infty \]،
\[ W^{k,p}(\Omega) \]جدایی پذیر است.
قضایای جاسازی سوبولف: اگر
\[ kp < n \]، آن گاه
\[ W^{k,p}(\Omega) \subset L^q(\Omega) \]برای
\[ 1/q = 1/p - k/n \]. اگر
\[ kp > n \]، آن گاه توابع در
\[ W^{k,p} \]پس از اصلاح روی یک مجموعه با اندازه صفر، پیوسته (حتی هولدر) هستند.
قضیه تراکم: توابع هموار با تکیه گاه فشرده در
\[ W^{k,p}(\Omega) \]چگالند (برای
\[ \Omega \]با مرز مناسب).
فضاهای
\[ H^k \]:
\[ H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega) \]یک فضای هیلبرت با ضرب داخلی
\[ \langle f, g \rangle = \sum_{|\alpha| \leq k} \int D^\alpha f \, D^\alpha g \].
فضاهای
\[ W^{k,p}_0 \]: بستار توابع
\[ C^\infty_c(\Omega) \](توابع هموار با تکیه گاه فشرده) در
\[ W^{k,p}(\Omega) \]. این فضاها برای مسائل با شرط مرزی دیریکله استفاده می شوند.
قضایای مهم:
قضیه رلیش-کوندراشف: جاسازی
\[ W^{1,p} \subset L^q \]برای
\[ q < p^* \]فشرده است (اگر دامنه کراندار باشد).
قضیه مازیا: فضاهای سوبولف و کاربردهایشان در مسائل مقدار مرزی.
قضیه پوانکاره:
\[ \|f - f_\Omega\|_p \leq C \|\nabla f\|_p \]برای توابع در
\[ W^{1,p} \].
کاربردها: فضاهای سوبولف در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (برای فرمول سازی ضعیف مسائل)، آنالیز عددی (روش اجزاء محدود)، فیزیک (مکانیک کوانتومی، الاستیسیته)، و هندسه دیفرانسیل کاربرد دارند.
مثال:
\[ f(x) = |x| \]روی
\[ (-1,1) \]در
\[ W^{1,p}(-1,1) \]است برای
\[ p < \infty \]، زیرا مشتق ضعیف آن تابع علامت است که در
\[ L^p \]است. اما
\[ f(x) = |x|^{-1/2} \]روی
\[ (0,1) \]در
\[ W^{1,1} \]نیست.
📌 مثال ساده:
\[ \Omega = (0,1) \]،
\[ f(x) = x \].
\[ f \in W^{1,p} \]برای همه
\[ p \](چون مشتق ۱ است).
\[ f(x) = x^{1/2} \]:
\[ f \in L^2 \]، اما
\[ f'(x) = 1/(2\sqrt{x}) \]که در
\[ L^2 \]نیست (چون
\[ \int_0^1 1/(4x) dx \]واگراست). بنابراین
\[ f \notin W^{1,2} \].
در
\[ \mathbb{R}^n \]، تابع
\[ f(x) = |x|^{-\alpha} \]برای
\[ \alpha < (n-p)/p \]در
\[ W^{1,p} \]است.
