فضای lp (انگلیسی : lp Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای lp (انگلیسی : lp Space) :
تعریف: برای
\[ 1 \leq p < \infty \]، فضای
\[ l^p \]مجموعه همه دنباله های
\[ x = (x_n)_{n=1}^\infty \]از اعداد حقیقی (یا مختلط) است به طوری که:
\[ \|x\|_p = \left( \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p \right)^{1/p} < \infty \]برای
\[ p = \infty \]، فضای
\[ l^\infty \]مجموعه دنباله های کراندار است با نرم:
\[ \|x\|_\infty = \sup_n |x_n| \]توضیح مفهومی: فضاهای
\[ l^p \]حالت خاصی از فضاهای
\[ L^p \]هستند وقتی فضای اندازه، مجموعه اعداد طبیعی با اندازه شمارش (counting measure) باشد. این فضاها ساده ترین مثال های فضاهای باناخ با بعد نامتناهی هستند و نقش اساسی در آنالیز تابعی دارند.
ویژگی های اصلی:
کامل بودن:
\[ l^p \]برای
\[ 1 \leq p \leq \infty \]یک فضای باناخ است.
جدایی پذیری:
\[ l^p \]برای
\[ 1 \leq p < \infty \]جدایی پذیر است (دنباله های گویا با تعداد متناهی درایه غیرصفر یک زیرمجموعه شمارا چگالند).
\[ l^\infty \]جدایی پذیر نیست.
دوگان: دوگان
\[ l^p \]برای
\[ 1 < p < \infty \]،
\[ l^q \]است با
\[ 1/p + 1/q = 1 \]. دوگان
\[ l^1 \]،
\[ l^\infty \]است، و دوگان
\[ l^\infty \]بسیار پیچیده تر است.
درون یابی: اگر
\[ p < r < q \]، آن گاه
\[ l^r \subset l^p \cap l^q \]؟ در واقع
\[ l^p \subset l^r \]برای
\[ p < r \]؟ خیر، برعکس: برای
\[ p < q \]،
\[ l^p \subset l^q \](چون دنباله ها سریع تر کاهش می یابند).
روابط شمول: برای
\[ 1 \leq p < q \leq \infty \]، داریم
\[ l^p \subset l^q \]و این شمول حقیقی است (برابر نیست). مثلا دنباله
\[ (1/n) \]در
\[ l^2 \]است اما در
\[ l^1 \]نیست.
فضاهای
\[ c_0 \]و
\[ c \]:
\[ c_0 \]زیرفضای
\[ l^\infty \]شامل دنباله های همگرا به صفر است.
\[ c \]زیرفضای
\[ l^\infty \]شامل دنباله های همگرا است. این فضاها نیز باناخ هستند.
قضایای مهم:
قضیه پیت: هر عملگر خطی کراندار از
\[ l^q \]به
\[ l^p \]برای
\[ q < p \]، فشرده است.
قضیه هیلبرت:
\[ l^2 \]تنها فضای
\[ l^p \]است که هیلبرت است.
قضیه اشنایر:
\[ l^p \]برای
\[ p \neq 2 \]دارای پایه های نرمال متعامد نیست.
کاربردها: فضاهای
\[ l^p \]در آنالیز فوریه (برای ضرایب فوریه)، نظریه عملگرها، معادلات دیفرانسیل (به عنوان فضاهای دنباله ای)، و یادگیری ماشین (برای منظم سازی) کاربرد دارند.
مثال های مهم:
\[ x = (1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) \]
: این دنباله در
\[ l^2 \]است (چون
\[ \sum 1/n^2 < \infty \]) اما در
\[ l^1 \]نیست (چون
\[ \sum 1/n \]واگراست).
\[ x = (1, 1, 1, ...) \]
: در
\[ l^\infty \]است اما در هیچ
\[ l^p \]با
\[ p < \infty \]نیست.
📌 مثال ساده:
\[ x = (1, 1/2, 1/4, 1/8, ...) \]:
\[ \|x\|_1 = \sum 1/2^{n-1} = 2 \]،
\[ \|x\|_2 = \sqrt{\sum 1/4^{n-1}} = \sqrt{4/3} \approx 1.15 \]،
\[ \|x\|_\infty = 1 \].
\[ x^{(n)} = (0, ..., 0, 1, 0, ...) \](یک در مکان nام). این دنباله در
\[ l^p \]برای
\[ p < \infty \]به ۰ همگراست؟ در
\[ l^p \]،
\[ \|x^{(n)}\|_p = 1 \]، پس همگرا نیست. اما در
\[ l^\infty \]نیز
\[ \|x^{(n)}\|_\infty = 1 \]و همگرا نیست. در
\[ c_0 \]، این دنباله به ۰ همگرای ضعیف است اما قوی نیست.
