فضای Lp (انگلیسی : Lp Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای Lp (انگلیسی : Lp Space) :
تعریف: فرض کنید
\[ (X, \mathcal{M}, \mu) \]یک فضای اندازه و
\[ 1 \leq p < \infty \]باشد. فضای
\[ L^p(X, \mu) \]مجموعه همه توابع measurable
\[ f: X \to \mathbb{R} \](یا
\[ \mathbb{C} \]) است به طوری که:
\[ \|f\|_p = \left( \int_X |f|^p \, d\mu \right)^{1/p} < \infty \]برای
\[ p = \infty \]، فضای
\[ L^\infty(X, \mu) \]مجموعه توابع measurable است با:
\[ \|f\|_\infty = \operatorname{ess sup}_{x \in X} |f(x)| < \infty \]توضیح مفهومی: فضاهای
\[ L^p \]از مهم ترین فضاهای تابعی در آنالیز هستند. این فضاها ابتدا توسط ریش (F. Riesz) مطالعه شدند. توجه کنید که توابعی که تقریبا همه جا برابرند، به عنوان یک کلاس هم ارزی در نظر گرفته می شوند. بنابراین
\[ L^p \]در واقع فضای کلاس های هم ارزی توابع است و با متر
\[ d(f, g) = \|f - g\|_p \]یک فضای متریک (و در واقع فضای باناخ) است.
ویژگی های اصلی:
کامل بودن: برای هر
\[ 1 \leq p \leq \infty \]،
\[ L^p \]یک فضای باناخ (نرم دار کامل) است. برای
\[ p=2 \]، یک فضای هیلبرت است.
جدایی پذیری: اگر فضای اندازه دارای پایه شمارا باشد (مثل
\[ \mathbb{R}^n \]با اندازه لوبگ)،
\[ L^p \]برای
\[ 1 \leq p < \infty \]جدایی پذیر است.
\[ L^\infty \]معمولا جدایی پذیر نیست.
دوگان: دوگان
\[ L^p \]برای
\[ 1 < p < \infty \]،
\[ L^q \]است با
\[ 1/p + 1/q = 1 \]. دوگان
\[ L^1 \]،
\[ L^\infty \]نیست (مگر در موارد خاص)، و دوگان
\[ L^\infty \]بسیار بزرگتر است.
نامساوی هولدر:
\[ \int |fg| \leq \|f\|_p \|g\|_q \].
موارد خاص:
\[ L^2 \]
: تنها فضای
\[ L^p \]که ضرب داخلی دارد:
\[ \langle f, g \rangle = \int f \bar{g} \].
\[ L^1 \]
: فضای توابع انتگرال پذیر.
\[ L^\infty \]
: فضای توابع اساسیا کراندار.
قضایای مهم:
قضیه همگرایی تسلط یافته لبگ: اگر
\[ f_n \to f \]نقطه ای و
\[ |f_n| \leq g \]با
\[ g \in L^1 \]، آن گاه
\[ f_n \to f \]در
\[ L^1 \].
قضیه فیشر-ریش:
\[ L^p \]کامل است.
قضیه بازنمایی ریتس: هر تابعک خطی پیوسته روی
\[ L^p \](
\[ 1 < p < \infty \]) به صورت انتگرال با یک تابع
\[ L^q \]نمایش داده می شود.
کاربردها: فضاهای
\[ L^p \]در آنالیز فوریه (تبدیل فوریه روی
\[ L^2 \])، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (فضاهای سوبولف)، نظریه احتمال (فضاهای
\[ L^p \]برای متغیرهای تصادفی)، و فیزیک ریاضی کاربرد دارند.
📌 مثال ساده:
\[ X = [0,1] \]با اندازه لوبگ،
\[ f(x) = x^{-1/2} \].
\[ f \in L^1 \]نیست (چون انتگرال
\[ \int_0^1 x^{-1/2} dx = 2 \]، اشتباه: انتگرال همگراست! بله
\[ x^{-1/2} \]در
\[ [0,1] \]انتگرال پذیر است.
\[ f(x) = x^{-1} \]در
\[ L^1 \]نیست.
\[ f_n(x) = n \chi_{[0,1/n]} \](تابع مشخصه).
\[ \|f_n\|_1 = 1 \]، اما
\[ f_n \to 0 \]تقریبا همه جا، و در
\[ L^1 \]هم به ۰ همگراست؟ خیر، چون
\[ \|f_n\|_1 = 1 \]، به صفر همگرا نیست. در عوض،
\[ f_n \to 0 \]در اندازه اما نه در
\[ L^1 \].
