زیرفضای متریک (Metric Subspace)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
زیرفضای متریک (Metric Subspace) :
تعریف: اگر
\[ (X, d) \]یک فضای متریک و
\[ Y \subseteq X \]یک زیرمجموعه از
\[ X \]باشد، آن گاه
\[ (Y, d|_Y) \]یک زیرفضای متریک (Metric Subspace) نامیده می شود، که در آن
\[ d|_Y \]تحدید متر
\[ d \]به
\[ Y \times Y \]است. یعنی برای
\[ x, y \in Y \]،
\[ d_Y(x, y) = d_X(x, y) \].
\[ d_Y(x, y) = d_X(x, y) \quad \forall x, y \in Y \]توضیح مفهومی: هر زیرمجموعه از یک فضای متریک، با همان متر، خود یک فضای متریک است. این ساده ترین راه برای تولید فضاهای متریک جدید است. زیرفضاها ممکن است خواص فضای اصلی را حفظ کنند یا نکنند. برای مثال، زیرفضاهای بسته از یک فضای کامل، کامل هستند، اما زیرفضاهای باز ممکن است ناکامل باشند.
ویژگی های اصلی:
اگر
\[ X \]کامل باشد و
\[ Y \subseteq X \]بسته باشد، آن گاه
\[ Y \]کامل است.
اگر
\[ X \]فشرده باشد و
\[ Y \subseteq X \]بسته باشد، آن گاه
\[ Y \]فشرده است.
اگر
\[ X \]همبند باشد، زیرفضاهای
\[ Y \]لزوما همبند نیستند (مثلا
\[ \mathbb{R} \]همبند است اما
\[ \mathbb{Q} \]نیست).
اگر
\[ X \]جدایی پذیر باشد، هر زیرفضای
\[ Y \]نیز جدایی پذیر است (چرا؟ زیرمجموعه چگال
\[ X \]را با
\[ Y \]اشتراک بگیرید، ممکن است چگال نباشد اما می توان نشان داد
\[ Y \]هم جدایی پذیر است).
توپولوژی زیرفضا، همان توپولوژی القایی از
\[ X \]است.
مثال های مهم:
اعداد گویا
\[ \mathbb{Q} \]: زیرفضایی از
\[ \mathbb{R} \]که کامل نیست.
اعداد صحیح
\[ \mathbb{Z} \]: زیرفضایی از
\[ \mathbb{R} \]که کامل و گسسته است.
بازه
\[ (0,1) \]: زیرفضایی از
\[ \mathbb{R} \]که ناکامل است.
کره
\[ S^n \]: زیرفضایی از
\[ \mathbb{R}^{n+1} \]که فشرده است.
مجموعه کانتور: زیرفضایی از
\[ [0,1] \]که فشرده و کاملا ناهمبند است.
متر ذاتی در مقابل متر القایی: متر القایی روی
\[ Y \]معمولا با متر ذاتی (intrinsic) که بر اساس طول مسیرهای درون
\[ Y \]تعریف می شود متفاوت است. برای مثال، روی
\[ S^1 \subset \mathbb{R}^2 \]، متر القایی فاصله اقلیدسی (وتر) را می دهد، در حالی که متر ذاتی طول کمان است.
قضایای مهم:
قضیه الحاق (Embedding): هر فضای متریک جداپذیر را می توان در فضای
\[ [0,1]^\mathbb{N} \](مکعب هیلبرت) به عنوان زیرفضا نشاند.
قضیه متریک پذیری اوریسون: هر فضای توپولوژیک با پایه شمارا و منظم را می توان در
\[ [0,1]^\mathbb{N} \]به عنوان زیرفضا نشاند.
کاربردها: مفهوم زیرفضا در همه جای ریاضیات حضور دارد. هرگاه با بخشی از یک فضا سروکار داریم، به طور خودکار با یک زیرفضا طرفیم. در آنالیز، زیرفضاهای بسته فضاهای باناخ اهمیت ویژه ای دارند. در توپولوژی، زیرفضاها برای مطالعه خواص موضعی فضاها استفاده می شوند.
نکته: گاهی زیرفضا را با متر متفاوتی مجهز می کنیم که با متر اصلی سازگار نیست. در این صورت، آن را دیگر زیرفضای متریک به معنای دقیق نمی نامیم.
📌 مثال ساده:
\[ X = \mathbb{R} \]،
\[ Y = \mathbb{Q} \]. در
\[ Y \]، فاصله بین دو عدد گویا همان قدر مطلق تفاضل آنهاست.
\[ Y \]کامل نیست، زیرا دنباله
\[ 3, 3.14, 3.141, 3.1415, ... \](تقریب های
\[ \pi \]) کوشی است اما حد آن (
\[ \pi \]) در
\[ Y \]نیست.
\[ X = \mathbb{R}^2 \]،
\[ Y = S^1 \]. در
\[ Y \]، فاصله بین دو نقطه
\[ (1,0) \]و
\[ (0,1) \]برابر
\[ \sqrt{2} \]است (وتر)، در حالی که فاصله ذاتی روی
\[ Y \]برابر
\[ \pi/2 \]است.
