فضای خارج قسمت متریک (Quotient Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای خارج قسمت متریک (Quotient Metric Space) :
تعریف: فرض کنید
\[ (X, d) \]یک فضای متریک و
\[ \sim \]یک رابطه هم ارزی روی
\[ X \]باشد. می خواهیم روی مجموعه خارج قسمت
\[ X/\sim \]یک متریک تعریف کنیم. یک راه طبیعی این است:
\[ d_{X/\sim}([x], [y]) = \inf\{ \sum_{i=1}^n d(p_i, q_i) \} \]که اینفیموم روی همه زنجیرهای متناهی
\[ p_1, q_1, ..., p_n, q_n \]با
\[ [p_1] = [x] \]،
\[ [q_n] = [y] \]، و
\[ q_i \sim p_{i+1} \]گرفته می شود.
توضیح مفهومی: این تعریف شبیه به متریک ذاتی (length metric) روی فضای خارج قسمت است. در عمل، اگر رابطه هم ارزی خوبی داشته باشیم (مثلا ناشی از عمل یک گروه ایزومتری)، این متریک به خوبی تعریف می شود. اما در حالت کلی، ممکن است
\[ d_{X/\sim}([x], [y]) = 0 \]برای
\[ [x] \neq [y] \]رخ دهد، که در این صورت حاصل یک شبه متریک است و برای تبدیل به متریک باید فضا را با یک رابطه هم ارزی دیگر شناسایی کنیم.
شرایط خوب بودن: اگر رابطه هم ارزی ناشی از عمل یک گروه
\[ G \]از ایزومتری ها روی
\[ X \]باشد و عمل مناسب (proper) باشد، آن گاه فضای خارج قسمت با این متریک یک فضای متریک خوب است. همچنین اگر
\[ X \]یک فضای طولی باشد و رابطه هم ارزی توسط یک زیرمجموعه بسته تعریف شود، گاهی می توان متریک مناسبی تعریف کرد.
ویژگی های اصلی:
نگاشت پیمایش
\[ \pi: X \to X/\sim \]معمولا ناانبساطی است:
\[ d_{X/\sim}(\pi(x), \pi(y)) \leq d(x, y) \].
اگر
\[ X \]کامل باشد و عمل گروه به طور مناسب (properly discontinuous) باشد،
\[ X/\sim \]نیز کامل است.
اگر
\[ X \]فشرده باشد،
\[ X/\sim \]نیز فشرده است.
اگر
\[ X \]یک فضای CAT(0) باشد و گروه توسط ایزومتری ها عمل کند،
\[ X/\sim \]یک فضای CAT(0) نیست لزوما، اما ممکن است یک فضای الکساندرف با انحنای محدود باشد.
مثال های مهم:
خط خارج قسمت با عمل انتقال:
\[ \mathbb{R} / \mathbb{Z} \cong S^1 \](دایره). متریک روی دایره برابر با طول کمان است.
صفحه خارج قسمت با عمل دوران:
\[ \mathbb{R}^2 / SO(2) \]با رابطه هم ارزی که نقاط با فاصله یکسان از مبدأ را شناسایی می کند، به
\[ [0, \infty) \]با متر
\[ d(r_1, r_2) = |r_1 - r_2| \]می انجامد.
چنبره
\[ T^n = \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n \]: خارج قسمت
\[ \mathbb{R}^n \]با عمل شبکه
\[ \mathbb{Z}^n \].
فضای تصویری
\[ \mathbb{RP}^n = S^n / \{\pm 1\} \]: کره با شناسایی نقاط متقابل.
مشکل تعریف: در حالت کلی،
\[ d_{X/\sim} \]ممکن است یک متریک نباشد (ممکن است
\[ d([x],[y]) = 0 \]برای
\[ [x] \neq [y] \]). برای رفع این مشکل، گاهی باید رابطه هم ارزی را با بستار آن جایگزین کرد یا از شبه متریک استفاده کرد.
کاربردها: فضاهای خارج قسمت در هندسه دیفرانسیل (برای ساخت خمینه های خارج قسمت)، توپولوژی جبری (برای ساخت فضاهای پوششی و گروه های بنیادین)، نظریه گروه های هندسی (برای مطالعه فضاهای همگن)، و فیزیک (برای مدل سازی فضاهای با تقارن) کاربرد دارند.
📌 مثال ساده:
\[ X = [0, 1] \]با متر اقلیدسی. نقاط ۰ و ۱ را با هم شناسایی کنید (یعنی ۰ ~ ۱). فضای خارج قسمت
\[ [0,1]/\{0,1\} \]یک دایره است. فاصله بین نقطه
\[ 0.2 \]و
\[ 0.8 \]در فضای خارج قسمت برابر
\[ \min(0.6, 0.4) \]است (چون می توان از مسیر کوتاه تر روی دایره رفت). این متریک همان متر کمان روی دایره است.
