فضای ضرب متریک (Product Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای ضرب متریک (Product Metric Space) :
تعریف: اگر
\[ (X, d_X) \]و
\[ (Y, d_Y) \]دو فضای متریک باشند، می توان روی حاصلضرب دکارتی
\[ X \times Y \]متریک های مختلفی تعریف کرد که توپولوژی حاصلضرب را تولید کنند. سه متریک رایج عبارتند از:
متر
\[ l^1 \]:
\[ d_1((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = d_X(x_1, x_2) + d_Y(y_1, y_2) \]متر
\[ l^2 \]:
\[ d_2((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{d_X(x_1, x_2)^2 + d_Y(y_1, y_2)^2} \]متر
\[ l^\infty \]:
\[ d_\infty((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \max\{d_X(x_1, x_2), d_Y(y_1, y_2)\} \]توضیح مفهومی: همه این متریک ها توپولوژی یکسانی (توپولوژی حاصلضرب) تولید می کنند و با یکدیگر هم ارز هستند (به این معنا که نگاشت همانی لیپشیتز است). انتخاب متریک بستگی به کاربرد دارد. متر
\[ l^\infty \]ساده ترین است و اغلب در اثبات ها استفاده می شود. متر
\[ l^2 \]طبیعی ترین تعمیم متر اقلیدسی است.
ویژگی های اصلی:
اگر
\[ X \]و
\[ Y \]کامل باشند، آن گاه
\[ X \times Y \]با هر یک از این متریک ها کامل است.
اگر
\[ X \]و
\[ Y \]فشرده باشند،
\[ X \times Y \]نیز فشرده است (قضیه تیخونوف برای دو فضا).
اگر
\[ X \]و
\[ Y \]همبند (مسیری) باشند،
\[ X \times Y \]نیز همبند (مسیری) است.
ژئودزیک ها در حاصلضرب با متر
\[ l^2 \]، حاصلضرب ژئودزیک ها هستند.
اگر
\[ X \]و
\[ Y \]فضاهای CAT(0) باشند،
\[ X \times Y \]با متر
\[ l^2 \]نیز CAT(0) است.
تعمیم به حاصلضرب نامتناهی: برای حاصلضرب شمارا از فضاهای متریک، می توان متریک هایی مانند
\[ d(x, y) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \frac{d_n(x_n, y_n)}{1 + d_n(x_n, y_n)} \]تعریف کرد که توپولوژی حاصلضرب را تولید می کند.
مثال های مهم:
\[ \mathbb{R}^n \]
: حاصلضرب
\[ n \]نسخه از
\[ \mathbb{R} \]با متر
\[ l^2 \]، همان فضای اقلیدسی است.
چنبره
\[ T^n = S^1 \times \cdots \times S^1 \]: با متر حاصلضرب.
استوانه
\[ S^1 \times \mathbb{R} \]: با متر حاصلضرب.
مکعب هیلبرت
\[ [0,1]^\mathbb{N} \]: حاصلضرب شمارا از بازه ها.
متریک های معادل: در حاصلضرب متناهی، همه متریک های
\[ l^p \]برای
\[ 1 \leq p \leq \infty \]با یکدیگر معادل هستند (یعنی نگاشت همانی بین آنها لیپشیتز است). برای حاصلضرب نامتناهی، اینطور نیست و باید از متریک های خاصی استفاده کرد.
کاربردها: فضاهای ضرب متریک در هندسه دیفرانسیل (برای مطالعه خمینه های حاصلضرب)، توپولوژی جبری (برای مطالعه فضاهای حاصلضرب)، و آنالیز تابعی (برای مطالعه فضاهای حاصلضرب) کاربرد دارند.
📌 مثال ساده:
\[ X = [0,1] \]،
\[ Y = [0,1] \]با متر اقلیدسی. در
\[ X \times Y = [0,1]^2 \]، متر
\[ d_2 \]همان متر اقلیدسی است:
\[ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \]. متر
\[ d_1 \]منهتن است:
\[ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1-x_2| + |y_1-y_2| \]. متر
\[ d_\infty \]چبیشف است:
\[ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \max(|x_1-x_2|, |y_1-y_2|) \].
