فضای متریک بر روی دامنه های اعداد حقیقی (Metric Space on Real Numbers)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک بر روی دامنه های اعداد حقیقی (Metric Space on Real Numbers) :
تعریف: این یک دسته کلی از فضاهای متریک است که در آنها مجموعه پایه، زیرمجموعه ای از اعداد حقیقی
\[ \mathbb{R} \]است و متریک معمولا قدر مطلق تفاضل است، اما می تواند مترهای دیگری نیز باشد. دامنه ها می توانند بازه ها، مجموعه های گسسته، مجموعه کانتور، و غیره باشند.
\[ X \subseteq \mathbb{R} \]،
\[ d(x, y) = |x - y| \](متر معمولی)
یا
\[ d(x, y) = f(|x - y|) \]برای یک تابع
\[ f \]مناسب.
توضیح مفهومی: اعداد حقیقی و زیرمجموعه های آنها ساده ترین و در عین حال مهم ترین مثال های فضاهای متریک هستند. مطالعه این فضاها به ما درک شهودی از مفاهیم متریک می دهد و بسیاری از قضایای عمومی ابتدا برای این فضاها اثبات شده اند.
انواع دامنه ها:
بازه های باز:
\[ (a, b) \]،
\[ (-\infty, b) \]،
\[ (a, \infty) \]،
\[ (-\infty, \infty) \]بازه های بسته:
\[ [a, b] \]،
\[ (-\infty, b] \]،
\[ [a, \infty) \]بازه های نیمه باز:
\[ [a, b) \]،
\[ (a, b] \]مجموعه های گسسته:
\[ \mathbb{Z} \](اعداد صحیح)،
\[ \mathbb{N} \](اعداد طبیعی)، مجموعه های متناهی
مجموعه کانتور: یک مجموعه فشرده، کامل، و کاملا ناهمبند
مجموعه اعداد گویا
\[ \mathbb{Q} \]: یک مجموعه چگال اما ناکامل
مجموعه اعداد گنگ
\[ \mathbb{P} \]: مکمل
\[ \mathbb{Q} \]در
\[ \mathbb{R} \]خواص مهم هر دامنه:
بازه های بسته
\[ [a, b] \]: فشرده، کامل، همبند، کراندار
بازه های باز
\[ (a, b) \]: نافشرده، ناکامل (مگر
\[ \mathbb{R} \])، همبند، کراندار
\[ \mathbb{R} \]
: کامل، نافشرده، همبند، ناکراندار
\[ \mathbb{Q} \]
: ناکامل، چگال، کاملا ناهمبند، جداپذیر
مجموعه کانتور: فشرده، کامل، کاملا ناهمبند، بدون نقطه انزوا
متریک های دیگر روی
\[ \mathbb{R} \]:
\[ d(x, y) = |e^x - e^y| \]
(متریک که
\[ \mathbb{R} \]را به
\[ (0, \infty) \]می برد)
\[ d(x, y) = |\arctan x - \arctan y| \]
(متریک کراندار)
\[ d(x, y) = |x - y|/(1 + |x - y|) \]
(متریک کراندار هم توپولوژی با متر معمولی)
\[ d(x, y) = 0 \]
اگر
\[ x = y \]و
\[ 1 \]اگر
\[ x \neq y \](متر گسسته، که توپولوژی گسسته می دهد)
قضایای مهم:
قضیه هاینه-بورل: در
\[ \mathbb{R} \]، یک مجموعه فشرده است اگر و فقط اگر بسته و کراندار باشد.
قضیه مقدار میانی: اگر
\[ f: [a, b] \to \mathbb{R} \]پیوسته باشد، آن گاه تمام مقادیر بین
\[ f(a) \]و
\[ f(b) \]را اختیار می کند.
قضیه بئر:
\[ \mathbb{R} \]یک فضای بئر است (اشتراک شمارا از مجموعه های باز چگال، چگال است).
کاربردها: این فضاها اساس آنالیز حقیقی را تشکیل می دهند و در همه جای ریاضیات ظاهر می شوند: از حسابان گرفته تا نظریه اندازه و آنالیز تابعی.
📌 مثال ساده:
\[ X = [0, 1] \]با متر
\[ d(x, y) = |x - y| \]یک فضای متریک فشرده، کامل، و همبند است. دنباله
\[ 1/n \]در این فضا به ۰ همگراست.
\[ X = (0, 1) \]کامل نیست زیرا دنباله
\[ 1/n \]به ۰ همگراست که در فضا نیست.
\[ X = \mathbb{Q} \cap [0, 1] \]یک فضای متریک کاملا ناهمبند و ناکامل است.
