فضای متریک مسیری (Path Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک مسیری (Path Metric Space) :
تعریف: فضای متریک مسیری (Path Metric Space) معمولا مترادف با فضای طولی (Length Space) استفاده می شود. اما گاهی تعریف دقیق تری دارد: یک فضای متریک
\[ (X, d) \]مسیری نامیده می شود اگر برای هر دو نقطه
\[ x, y \in X \]و هر
\[ \epsilon > 0 \]، یک مسیر (منحنی پیوسته)
\[ \gamma \]از
\[ x \]به
\[ y \]وجود داشته باشد به طوری که طول
\[ L(\gamma) \]کمتر از
\[ d(x, y) + \epsilon \]باشد. این معادل تعریف فضای طولی است.
\[ \forall x, y \in X, \forall \epsilon > 0, \exists \gamma: L(\gamma) < d(x, y) + \epsilon \]توضیح مفهومی: این فضاها دقیقا همان فضاهای طولی هستند. نام "مسیری" تأکید دارد که فاصله را می توان با مسیرهای دلخواه به طور دلخواه تقریب زد. این مفهوم برای مطالعه هندسه ذاتی فضاها بسیار مهم است.
ویژگی های اصلی:
هر فضای ژئودزیکی مسیری است (زیرا ژئودزیک ها مسیرهای با طول دقیقا برابر فاصله هستند).
در فضاهای مسیری، متریک با متریک داخلی (inner metric) یا متریک ذاتی (intrinsic metric) یکی است.
این فضاها تحت هم ریختی های لیپشیتز و ایزومتریک بسته هستند.
مفهوم طول منحنی در این فضاها به خوبی تعریف شده است.
تفاوت با فضای طولی: در عمل، این دو اصطلاح به یک معنا به کار می روند. گاهی "Path Metric Space" برای فضاهایی به کار می رود که متریک آنها مستقیما از طول مسیرها تعریف شده باشد، در حالی که "Length Space" برای فضاهایی به کار می رود که متریک موجود با اینفیموم طول مسیرها سازگار است.
متریک داخلی: اگر
\[ (X, d) \]یک فضای متریک باشد، می توان متریک داخلی (یا ذاتی)
\[ d_i \]را به صورت
\[ d_i(x, y) = \inf L(\gamma) \]تعریف کرد. اگر
\[ d = d_i \]، آن گاه
\[ (X, d) \]یک فضای مسیری (طول) است. در غیر این صورت،
\[ d \]ممکن است بزرگتر از
\[ d_i \]باشد.
مثال های مهم: همان مثال های فضای طولی: خمینه های ریمانی، فضاهای اقلیدسی، گراف ها، و به طور کلی هر فضایی که بتوان بین نقاط آن مسیر پیوسته کشید.
کاربردها: در هندسه دیفرانسیل، توپولوژی جبری (برای مطالعه فضاهای پوششی)، آنالیز هندسی، و نظریه کنترل.
📌 مثال ساده:
\[ X = S^1 \](دایره) با متر طول کمان (arc length) یک فضای مسیری است. فاصله بین دو نقطه برابر طول کمان کوتاه تر بین آنهاست و این طول دقیقا توسط یک مسیر (کمان) قابل دستیابی است. بنابراین ژئودزیکی هم هست.
