فضای متریک طولی (Length Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک طولی (Length Space) :
تعریف: یک فضای متریک
\[ (X, d) \]طولی (Length Space) یا فضای مسیری-متریک (Path Metric Space) نامیده می شود اگر فاصله بین هر دو نقطه برابر با اینفیموم طول تمام منحنی های پیوسته (با طول متناهی) باشد که آن دو نقطه را به هم وصل می کنند. به عبارت دیگر، متریک با ساختار مسیری فضا سازگار است.
\[ d(x, y) = \inf\{L(\gamma) : \gamma \text{ منحنی پیوسته از } x \text{ به } y\} \]که
\[ L(\gamma) \]طول منحنی است.
توضیح مفهومی: در یک فضای طولی، متریک به طور ذاتی از طول منحنی ها ناشی می شود. این بدان معناست که فاصله بین دو نقطه، کوتاه ترین طول ممکن برای یک مسیر بین آنهاست. همه فضاهای ژئودزیکی (که در ادامه می آیند) طولی هستند، اما عکس آن درست نیست: در یک فضای طولی ممکن است لزوما یک ژئودزیک (کوتاه ترین مسیر) بین هر دو نقطه وجود نداشته باشد، اما می توان با دنباله ای از مسیرها به فاصله دلخواه نزدیک شد.
ویژگی های اصلی:
هر فضای ژئودزیکی طولی است، اما عکس آن لزوما درست نیست (مثلا
\[ \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \]با متر معمولی طولی است اما ژئودزیکی نیست چون بین دو نقطه متقابل نسبت به مبدأ ژئودزیک وجود ندارد).
در فضاهای طولی، متریک با توپولوژی مسیری (topology of paths) سازگار است.
فضاهای طولی تحت پوشش های باز و برخی عملیات بسته هستند.
اگر یک فضای متریک طولی و کامل باشد، آن گاه ژئودزیکی است (قضیه هوپف-رینوف در فضاهای طولی).
مثال های مهم:
خمینه های ریمانی: هر خمینه ریمانی با متر ناشی از طول منحنی ها یک فضای طولی است.
فضاهای اقلیدسی:
\[ \mathbb{R}^n \]با متر معمولی طولی است.
گراف ها: یک گراف همبند با متر کوتاه ترین مسیر یک فضای طولی است.
فضاهای با متر ناشی از نرم: هر فضای برداری نرم دار با متر ناشی از نرم، طولی است اگر نرم به اندازه کافی خوب باشد (مثلا نرم های حاصل از ضرب داخلی).
قضیه هوپف-رینوف: در فضاهای طولی، این قضیه بیان می کند که اگر فضا کامل و موضعا فشرده باشد، آن گاه ژئودزیکی است و گوی های بسته فشرده هستند. این تعمیم قضیه کلاسیک هوپف-رینوف در هندسه ریمانی است.
طول منحنی: طول یک منحنی
\[ \gamma: [a,b] \to X \]به صورت
\[ L(\gamma) = \sup \sum_{i=1}^n d(\gamma(t_{i-1}), \gamma(t_i)) \]تعریف می شود که سوپریموم روی تمام افرازهای
\[ [a,b] \]گرفته می شود. در فضاهای طولی، این طول با متریک رابطه نزدیکی دارد.
فضاهای با متر ذاتی: گاهی به فضاهای طولی، فضاهای با متر ذاتی (Intrinsic Metric) نیز می گویند، زیرا متریک به طور ذاتی از ساختار مسیری فضا ناشی می شود.
کاربردها: فضاهای طولی در هندسه متریک، آنالیز روی فضاها، نظریه کنترل بهینه (برای مسائل کوتاه ترین مسیر)، و فیزیک (در نسبیت عام برای مطالعه ژئودزیک ها) کاربرد دارند.
📌 مثال ساده:
\[ X = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \]با متر اقلیدسی یک فضای طولی است. فاصله بین دو نقطه
\[ (1,0) \]و
\[ (-1,0) \]برابر ۲ است، اما هیچ ژئودزیکی بین آنها وجود ندارد که از مبدأ عبور نکند. با این حال، می توان مسیرهایی با طول دلخواه نزدیک به ۲ یافت (مثلا مسیرهایی که کمی از مبدأ دور می زنند). بنابراین فضا طولی است ولی ژئودزیکی نیست.
