فضای متریک فشرده موضعی (Locally Compact Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک فشرده موضعی (Locally Compact Metric Space) :
تعریف: یک فضای متریک
\[ (X, d) \]فشرده موضعی (Locally Compact) نامیده می شود اگر هر نقطه
\[ x \in X \]دارای یک همسایگی (neighborhood) فشرده باشد. به عبارت دیگر، به ازای هر
\[ x \]، مجموعه ای باز مانند
\[ U \]حاوی
\[ x \]وجود دارد که
\[ \overline{U} \]فشرده است.
\[ \forall x \in X, \exists U \text{ باز}, x \in U, \overline{U} \text{ فشرده} \]یا معادل: هر نقطه یک همسایگی فشرده دارد.
توضیح مفهومی: فشردگی موضعی به این معناست که فضا در اطراف هر نقطه، شبیه یک فضای فشرده است، اما ممکن است در کل فشرده نباشد. این مفهوم بین فشردگی (که خاصیتی سراسری است) و ویژگی های موضعی قرار می گیرد. بسیاری از فضاهای مهم در آنالیز، مانند
\[ \mathbb{R}^n \]، فشرده موضعی هستند اما فشرده نیستند.
ویژگی ها:
هر فضای فشرده، فشرده موضعی است.
\[ \mathbb{R}^n \]
فشرده موضعی است (هر نقطه دارای یک گوی بسته فشرده به عنوان همسایگی است).
هر زیرمجموعه باز یک فضای فشرده موضعی، فشرده موضعی است.
هر زیرمجموعه بسته یک فضای فشرده موضعی، فشرده موضعی است.
حاصلضرب متناهی فضاهای فشرده موضعی، فشرده موضعی است.
تصویر پیوسته و باز یک فضای فشرده موضعی، لزوما فشرده موضعی نیست.
مثال های مهم فضاهای فشرده موضعی:
\[ \mathbb{R}^n \]
: برای هر
\[ n \]، فشرده موضعی است (گوی های بسته).
خمینه های توپولوژیک: هر خمینه (مانند کره، چنبره) فشرده موضعی است.
هر مجموعه باز در
\[ \mathbb{R}^n \]: مانند
\[ (0,1) \].
فضاهای گسسته: هر فضای گسسته فشرده موضعی است (چون هر نقطه خودش یک همسایگی فشرده است، زیرا مجموعه های تک عضوی فشرده اند).
اعداد p-ادیک
\[ \mathbb{Q}_p \]: فشرده موضعی هستند.
مثال های غیرفشرده موضعی:
فضاهای با بعد نامتناهی: مانند فضای هیلبرت
\[ l^2 \]یا هر فضای باناخ با بعد نامتناهی، فشرده موضعی نیستند، زیرا گوی واحد بسته در این فضاها هرگز فشرده نیست (قضیه ریلیف).
\[ \mathbb{Q} \]
(اعداد گویا): با متر معمولی فشرده موضعی نیست، زیرا هیچ همسایگی فشرده ای برای نقاط گویا وجود ندارد (همسایگی ها شامل اعداد گنگ نیز می شوند و بسته شدن آنها فشرده نیست).
ارتباط با کامل بودن: فشردگی موضعی ارتباط مستقیمی با کامل بودن ندارد. مثلا
\[ \mathbb{Q} \]کامل نیست و فشرده موضعی هم نیست. اما
\[ (0,1) \]فشرده موضعی است ولی کامل نیست.
فشرده سازی: فضاهای فشرده موضعی را می توان با افزودن یک نقطه (فشرده سازی الکساندرف) به فضاهای فشرده تبدیل کرد. برای مثال، فشرده سازی
\[ \mathbb{R}^n \]با افزودن یک نقطه در بینهایت، کره
\[ S^n \]را به دست می دهد.
کاربردها: فشردگی موضعی در آنالیز هارمونیک (برای تعریف اندازه های هار روی گروه های فشرده موضعی)، در توپولوژی جبری، و در نظریه پتانسیل کاربرد فراوان دارد.
📌 مثال ساده:
\[ X = \mathbb{R} \]فشرده موضعی است. برای نقطه
\[ x = 5 \]، همسایگی
\[ U = (4, 6) \]را در نظر بگیرید. بستار آن
\[ [4, 6] \]است که در
\[ \mathbb{R} \]فشرده است (بسته و کراندار). اما
\[ X = \mathbb{Q} \]فشرده موضعی نیست، زیرا هر همسایگی یک نقطه گویا شامل اعداد گنگ است و بستار آن در
\[ \mathbb{Q} \](که همان بستار در
\[ \mathbb{R} \]است) شامل اعداد گنگ نیز می شود و در
\[ \mathbb{Q} \]فشرده نیست.
