فضای متریک کراندار (Bounded Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک کراندار (Bounded Metric Space) :
تعریف: یک فضای متریک
\[ (X, d) \]کراندار (Bounded) نامیده می شود اگر عددی مانند
\[ M > 0 \]وجود داشته باشد به طوری که برای هر
\[ x, y \in X \]،
\[ d(x, y) \leq M \]. به عبارت دیگر، فاصله بین هر دو نقطه از یک مقدار ثابت تجاوز نکند.
\[ \exists M > 0: \forall x, y \in X, d(x, y) \leq M \]معادل: قطر فضا، یعنی
\[ \sup\{d(x, y) : x, y \in X\} \]متناهی است.
توضیح مفهومی: کرانداری یک ویژگی ساده و شهودی است: فضا "کوچک" است به این معنا که نمی توان دو نقطه با فاصله دلخواه بزرگ پیدا کرد. برای مثال، یک بازه متناهی در خط حقیقی کراندار است، در حالی که کل خط حقیقی کراندار نیست.
ویژگی ها:
هر فضای متریک فشرده، کراندار است.
زیرفضای یک فضای کراندار، کراندار است.
اجتماع متناهی از فضاهای کراندار، کراندار است (اگر به هم متصل باشند).
حاصلضرب متناهی فضاهای کراندار با متر مناسب (مانند متر حداکثر یا جمع) کراندار است.
اگر یک فضای متریک کراندار نباشد، می توان یک متر موافق با توپولوژی تعریف کرد که کراندار باشد (مثلا
\[ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} \]).
مثال های مهم فضاهای کراندار:
بازه های متناهی:
\[ [a, b] \],
\[ (a, b) \],
\[ [a, b) \]در
\[ \mathbb{R} \].
گوی ها و کره ها: هر گوی باز یا بسته با شعاع متناهی در
\[ \mathbb{R}^n \].
مجموعه کانتور: در
\[ [0,1] \]قرار دارد پس کراندار است.
فضاهای گسسته با تعداد متناهی عضو: هر فضای گسسته با تعداد نامتناهی عضو نیز کراندار است اگر متر گسسته باشد (فاصله حداکثر ۱).
مثال های ناکراندار:
\[ \mathbb{R} \]،
\[ \mathbb{R}^n \]، هر فضای برداری نرم دار نابدیهی (چون می توان نقاط را با ضرب در اسکالر بزرگ کرد)، بازه های نامتناهی مانند
\[ [0, \infty) \].
متر کراندار ساخته شده: اگر
\[ (X, d) \]هر فضای متریک باشد (حتی ناکراندار)، تابع
\[ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} \]یک متر روی
\[ X \]است که با
\[ d \]هم توپولوژی است و کراندار است (زیرا
\[ d'(x, y) < 1 \]). این نشان می دهد که کرانداری یک ویژگی متریک است، نه توپولوژیک.
کاربردها: کرانداری در بسیاری از قضایا مانند قضیه انقباض باناخ (که نیاز به کامل بودن دارد، نه کرانداری)، قضیه هاینه-بورل (در
\[ \mathbb{R}^n \]، فشردگی معادل بسته و کراندار بودن)، و در آنالیز تابعی برای بررسی عملگرهای کراندار اهمیت دارد.
قطر فضا: قطر یک فضای متریک کراندار به صورت
\[ \operatorname{diam}(X) = \sup\{d(x, y) : x, y \in X\} \]تعریف می شود. برای فضاهای کراندار، این عدد متناهی است.
📌 مثال ساده:
\[ X = [0, 10] \]با متر
\[ d(x, y) = |x - y| \]یک فضای کراندار است، زیرا حداکثر فاصله ۱۰ است (بین ۰ و ۱۰). اما
\[ X = \mathbb{R} \]کراندار نیست، زیرا می توان نقاطی با فاصله دلخواه بزرگ یافت.
متر گسسته روی هر مجموعه ای (حتی نامتناهی) کراندار است، زیرا فاصله بین نقاط متمایز ۱ است، پس قطر ۱ است.
