فضای متریک فشرده (Compact Metric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک فشرده (Compact Metric Space) :
تعریف: یک فضای متریک
\[ (X, d) \]فشرده (Compact) نامیده می شود اگر هر پوشش باز از
\[ X \]دارای یک زیرپوشش متناهی باشد. به عبارت دیگر، هر گردایه از مجموعه های باز که
\[ X \]را بپوشانند، می توان تعداد متناهی از آنها را انتخاب کرد که همچنان
\[ X \]را بپوشانند.
تعاریف معادل: در فضاهای متریک، فشردگی معادل های مهمی دارد:
۱. هر دنباله دارای زیردنباله همگرا (فشردگی دنباله ای)
۲. کامل و کاملا کراندار بودن
۳. هر خانواده از مجموعه های بسته با خاصیت اشتراک متناهی، اشتراک غیرتهی دارند
توضیح مفهومی: فشردگی یکی از مهم ترین مفاهیم در توپولوژی و آنالیز است. فضاهای فشرده رفتار خوبی دارند: توابع پیوسته روی آنها کراندار هستند و به ماکزیمم و مینیمم می رسند (قضیه مقدار کرانی)، همگرایی دنباله ها ساده تر است، و بسیاری از قضایا روی فضاهای فشرده برقرارند که روی فضاهای غیرفشرده برقرار نیستند.
ویژگی های فضاهای متریک فشرده:
هر فضای متریک فشرده، کراندار و کامل است.
هر زیرمجموعه بسته از یک فضای فشرده، فشرده است.
تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده است.
فضاهای فشرده، دارای خاصیت بولزانو-وایرشتراس هستند (هر مجموعه نامتناهی دارای نقطه حدی).
در فضاهای فشرده، هر تابع پیوسته یکنواخت پیوسته است.
مثال های مهم:
بازه های بسته:
\[ [a, b] \]در
\[ \mathbb{R} \]با متر معمولی فشرده است (قضیه هاینه-بورل).
کره ها: کره
\[ S^n \]در
\[ \mathbb{R}^{n+1} \]فشرده است.
مجموعه کانتور: مجموعه کانتور (Cantor set) یک فضای متریک فشرده است.
ضرب فضاهای فشرده: حاصلضرب هر خانواده از فضاهای فشرده (با توپولوژی ضربی) فشرده است (قضیه تیخونوف).
مثال های غیرفشرده:
\[ \mathbb{R} \]با متر معمولی فشرده نیست (چون پوشش
\[ \{( -n, n) : n \in \mathbb{N}\} \]زیرپوشش متناهی ندارد). بازه
\[ (0,1) \]فشرده نیست چون دنباله
\[ 1/n \]همگرا نیست (حد آن ۰ است که در مجموعه نیست).
قضیه هاینه-بورل: در
\[ \mathbb{R}^n \]، یک مجموعه فشرده است اگر و فقط اگر بسته و کراندار باشد. این قضیه در فضاهای متریک عمومی برقرار نیست (فشردگی قوی تر از بسته و کراندار بودن است).
فشردگی در آنالیز تابعی: در فضاهای با بعد نامتناهی (مانند فضای هیلبرت)، گوی واحد بسته هرگز فشرده نیست (قضیه ریلیف). این نشان می دهد که فشردگی در فضاهای با بعد نامتناهی خاصیت بسیار قوی ای است.
📌 مثال ساده:
مجموعه
\[ [0,1] \]با متر
\[ d(x, y) = |x-y| \]یک فضای متریک فشرده است. هر دنباله در
\[ [0,1] \]دارای زیردنباله همگرا (در
\[ [0,1] \]) است. مثلا دنباله
\[ 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... \]دارای زیردنباله هایی است که به ۰ یا ۱ همگرا می شوند.
